Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{5} (x) d x$

Langkah 1

Faktorkan $\cos^{4} (x)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{4} (x) \cos (x) d x$

Langkah 2

Sederhanakan dengan memfaktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {\cos (x)}^{2 (2)} \cos (x) d x$

Langkah 2.2

Tulis kembali ${\cos (x)}^{2 (2)}$ sebagai eksponensiasi.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {(\cos^{2} (x))}^{2} \cos (x) d x$

Langkah 3

Menggunakan Identitas Pythagoras, tulis kembali $\cos^{2} (x)$ sebagai $1 - \sin^{2} (x)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {(1 - \sin^{2} (x))}^{2} \cos (x) d x$

Langkah 4

Biarkan $u = \sin (x)$ . Kemudian $d u = \cos (x) d x$ sehingga $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Biarkan $u = \sin (x)$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Diferensialkan $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Langkah 4.1.2

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Langkah 4.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = \sin (x)$ .

$u_{lower} = \sin (0)$

Langkah 4.3

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$u_{lower} = 0$

Langkah 4.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = \sin (x)$ .

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

Langkah 4.5

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$u_{upper} = 1$

Langkah 4.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Langkah 4.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$\int_{0}^{1} {(1 - u^{2})}^{2} d u$

Langkah 5

Perluas ${(1 - u^{2})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Tulis kembali ${(1 - u^{2})}^{2}$ sebagai $(1 - u^{2}) (1 - u^{2})$ .

$\int_{0}^{1} (1 - u^{2}) (1 - u^{2}) d u$

Langkah 5.2

Terapkan sifat distributif.

$\int_{0}^{1} 1 (1 - u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2}) d u$

Langkah 5.3

Terapkan sifat distributif.

$\int_{0}^{1} 1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2}) d u$

Langkah 5.4

Terapkan sifat distributif.

$\int_{0}^{1} 1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} \cdot 1 - u^{2} (- u^{2}) d u$

Langkah 5.5

Pindahkan $u^{2}$ .

$\int_{0}^{1} 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - u^{2} (- u^{2}) d u$

Langkah 5.6

Pindahkan $u^{2}$ .

$\int_{0}^{1} 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

Langkah 5.7

Kalikan $1$ dengan $1$ .

$\int_{0}^{1} 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

Langkah 5.8

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\int_{0}^{1} 1 - u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

Langkah 5.9

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\int_{0}^{1} 1 - u^{2} - u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

Langkah 5.10

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\int_{0}^{1} 1 - u^{2} - u^{2} + 1 u^{2} u^{2} d u$

Langkah 5.11

Kalikan $u^{2}$ dengan $1$ .

$\int_{0}^{1} 1 - u^{2} - u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Langkah 5.12

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int_{0}^{1} 1 - u^{2} - u^{2} + u^{2 + 2} d u$

Langkah 5.13

Tambahkan $2$ dan $2$ .

$\int_{0}^{1} 1 - u^{2} - u^{2} + u^{4} d u$

Langkah 5.14

Kurangi $u^{2}$ dengan $- u^{2}$ .

$\int_{0}^{1} 1 - 2 u^{2} + u^{4} d u$

Langkah 5.15

Susun kembali $- 2 u^{2}$ dan $u^{4}$ .

$\int_{0}^{1} 1 + u^{4} - 2 u^{2} d u$

Langkah 5.16

Pindahkan $1$ .

$\int_{0}^{1} u^{4} - 2 u^{2} + 1 d u$

Langkah 6

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int_{0}^{1} u^{4} d u + \int_{0}^{1} - 2 u^{2} d u + \int_{0}^{1} d u$

Langkah 7

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{4}$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - 2 u^{2} d u + \int_{0}^{1} d u$

Langkah 8

Karena $- 2$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 2$ keluar dari integral.

$\frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1} - 2 \int_{0}^{1} u^{2} d u + \int_{0}^{1} d u$

Langkah 9

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{2}$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1} - 2 (\frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} d u$

Langkah 10

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $u^{3}$ .

$\frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1} - 2 (\frac{u^{3}}{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} d u$

Langkah 11

Terapkan aturan konstanta.

$\frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1} - 2 (\frac{u^{3}}{3}]_{0}^{1}) + u]_{0}^{1}$

Langkah 12

Gabungkan $\frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1}$ dan $u]_{0}^{1}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + u]_{0}^{1} - 2 (\frac{u^{3}}{3}]_{0}^{1})$

Langkah 13

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Evaluasi $\frac{1}{5} u^{5} + u$ pada $1$ dan pada $0$ .

$(\frac{1}{5} \cdot 1^{5} + 1) - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + 0) - 2 (\frac{u^{3}}{3}]_{0}^{1})$

Langkah 13.2

Evaluasi $\frac{u^{3}}{3}$ pada $1$ dan pada $0$ .

$(\frac{1}{5} \cdot 1^{5} + 1) - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Langkah 13.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.3.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{1}{5} \cdot 1 + 1 - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Langkah 13.3.2

Kalikan $\frac{1}{5}$ dengan $1$ .

$\frac{1}{5} + 1 - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Langkah 13.3.3

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$\frac{1}{5} + \frac{5}{5} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Langkah 13.3.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1 + 5}{5} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Langkah 13.3.5

Tambahkan $1$ dan $5$ .

$\frac{6}{5} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Langkah 13.3.6

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$\frac{6}{5} - (\frac{1}{5} \cdot 0 + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Langkah 13.3.7

Kalikan $\frac{1}{5}$ dengan $0$ .

$\frac{6}{5} - (0 + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Langkah 13.3.8

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$\frac{6}{5} - 0 - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Langkah 13.3.9

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$\frac{6}{5} + 0 - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Langkah 13.3.10

Tambahkan $\frac{6}{5}$ dan $0$ .

$\frac{6}{5} - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Langkah 13.3.11

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Langkah 13.3.12

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{0}{3})$

Langkah 13.3.13

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.3.13.1

Faktorkan $3$ dari $0$ .

$\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3})$

Langkah 13.3.13.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.3.13.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Langkah 13.3.13.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Langkah 13.3.13.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{0}{1})$

Langkah 13.3.13.2.4

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} - 0)$

Langkah 13.3.14

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} + 0)$

Langkah 13.3.15

Tambahkan $\frac{1}{3}$ dan $0$ .

$\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3})$

Langkah 13.3.16

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{1}{3}$ .

$\frac{6}{5} + \frac{- 2}{3}$

Langkah 13.3.17

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{6}{5} - \frac{2}{3}$

Langkah 13.3.18

Untuk menuliskan $\frac{6}{5}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{6}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3}$

Langkah 13.3.19

Untuk menuliskan $- \frac{2}{3}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{5}{5}$ .

$\frac{6}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5}$

Langkah 13.3.20

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $15$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.3.20.1

Kalikan $\frac{6}{5}$ dengan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{6 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5}$

Langkah 13.3.20.2

Kalikan $5$ dengan $3$ .

$\frac{6 \cdot 3}{15} - \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5}$

Langkah 13.3.20.3

Kalikan $\frac{2}{3}$ dengan $\frac{5}{5}$ .

$\frac{6 \cdot 3}{15} - \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5}$

Langkah 13.3.20.4

Kalikan $3$ dengan $5$ .

$\frac{6 \cdot 3}{15} - \frac{2 \cdot 5}{15}$

Langkah 13.3.21

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{6 \cdot 3 - 2 \cdot 5}{15}$

Langkah 13.3.22

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.3.22.1

Kalikan $6$ dengan $3$ .

$\frac{18 - 2 \cdot 5}{15}$

Langkah 13.3.22.2

Kalikan $- 2$ dengan $5$ .

$\frac{18 - 10}{15}$

Langkah 13.3.22.3

Kurangi $10$ dengan $18$ .

$\frac{8}{15}$

Langkah 14

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{8}{15}$

Bentuk Desimal:

$0.5\overline{3}$