Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{5} (x) d x$

Langkah 1

Faktorkan $\sin^{4} (x)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{4} (x) \sin (x) d x$

Langkah 2

Sederhanakan dengan memfaktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {\sin (x)}^{2 (2)} \sin (x) d x$

Langkah 2.2

Tulis kembali ${\sin (x)}^{2 (2)}$ sebagai eksponensiasi.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {(\sin^{2} (x))}^{2} \sin (x) d x$

Langkah 3

Menggunakan Identitas Pythagoras, tulis kembali $\sin^{2} (x)$ sebagai $1 - \cos^{2} (x)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {(1 - \cos^{2} (x))}^{2} \sin (x) d x$

Langkah 4

Biarkan $u = \cos (x)$ . Kemudian $d u = - \sin (x) d x$ sehingga $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Biarkan $u = \cos (x)$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Diferensialkan $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Langkah 4.1.2

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Langkah 4.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = \cos (x)$ .

$u_{lower} = \cos (0)$

Langkah 4.3

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$u_{lower} = 1$

Langkah 4.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = \cos (x)$ .

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{2})$

Langkah 4.5

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{2})$ adalah $0$ .

$u_{upper} = 0$

Langkah 4.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

Langkah 4.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$\int_{1}^{0} - {(1 - u^{2})}^{2} d u$

Langkah 5

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \int_{1}^{0} {(1 - u^{2})}^{2} d u$

Langkah 6

Perluas ${(1 - u^{2})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tulis kembali ${(1 - u^{2})}^{2}$ sebagai $(1 - u^{2}) (1 - u^{2})$ .

$- \int_{1}^{0} (1 - u^{2}) (1 - u^{2}) d u$

Langkah 6.2

Terapkan sifat distributif.

$- \int_{1}^{0} 1 (1 - u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2}) d u$

Langkah 6.3

Terapkan sifat distributif.

$- \int_{1}^{0} 1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2}) d u$

Langkah 6.4

Terapkan sifat distributif.

$- \int_{1}^{0} 1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} \cdot 1 - u^{2} (- u^{2}) d u$

Langkah 6.5

Pindahkan $u^{2}$ .

$- \int_{1}^{0} 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - u^{2} (- u^{2}) d u$

Langkah 6.6

Pindahkan $u^{2}$ .

$- \int_{1}^{0} 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

Langkah 6.7

Kalikan $1$ dengan $1$ .

$- \int_{1}^{0} 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

Langkah 6.8

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- \int_{1}^{0} 1 - u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

Langkah 6.9

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- \int_{1}^{0} 1 - u^{2} - u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

Langkah 6.10

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$- \int_{1}^{0} 1 - u^{2} - u^{2} + 1 u^{2} u^{2} d u$

Langkah 6.11

Kalikan $u^{2}$ dengan $1$ .

$- \int_{1}^{0} 1 - u^{2} - u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Langkah 6.12

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$- \int_{1}^{0} 1 - u^{2} - u^{2} + u^{2 + 2} d u$

Langkah 6.13

Tambahkan $2$ dan $2$ .

$- \int_{1}^{0} 1 - u^{2} - u^{2} + u^{4} d u$

Langkah 6.14

Kurangi $u^{2}$ dengan $- u^{2}$ .

$- \int_{1}^{0} 1 - 2 u^{2} + u^{4} d u$

Langkah 6.15

Susun kembali $- 2 u^{2}$ dan $u^{4}$ .

$- \int_{1}^{0} 1 + u^{4} - 2 u^{2} d u$

Langkah 6.16

Pindahkan $1$ .

$- \int_{1}^{0} u^{4} - 2 u^{2} + 1 d u$

Langkah 7

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$- (\int_{1}^{0} u^{4} d u + \int_{1}^{0} - 2 u^{2} d u + \int_{1}^{0} d u)$

Langkah 8

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{4}$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$- (\frac{1}{5} u^{5}]_{1}^{0} + \int_{1}^{0} - 2 u^{2} d u + \int_{1}^{0} d u)$

Langkah 9

Gabungkan $\frac{1}{5}$ dan $u^{5}$ .

$- (\frac{u^{5}}{5}]_{1}^{0} + \int_{1}^{0} - 2 u^{2} d u + \int_{1}^{0} d u)$

Langkah 10

Karena $- 2$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 2$ keluar dari integral.

$- (\frac{u^{5}}{5}]_{1}^{0} - 2 \int_{1}^{0} u^{2} d u + \int_{1}^{0} d u)$

Langkah 11

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{2}$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- (\frac{u^{5}}{5}]_{1}^{0} - 2 (\frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{0}) + \int_{1}^{0} d u)$

Langkah 12

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $u^{3}$ .

$- (\frac{u^{5}}{5}]_{1}^{0} - 2 (\frac{u^{3}}{3}]_{1}^{0}) + \int_{1}^{0} d u)$

Langkah 13

Terapkan aturan konstanta.

$- (\frac{u^{5}}{5}]_{1}^{0} - 2 (\frac{u^{3}}{3}]_{1}^{0}) + u]_{1}^{0})$

Langkah 14

Gabungkan $\frac{u^{5}}{5}]_{1}^{0}$ dan $u]_{1}^{0}$ .

$- (\frac{u^{5}}{5} + u]_{1}^{0} - 2 (\frac{u^{3}}{3}]_{1}^{0}))$

Langkah 15

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Evaluasi $\frac{u^{5}}{5} + u$ pada $0$ dan pada $1$ .

$- ((\frac{0^{5}}{5} + 0) - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 (\frac{u^{3}}{3}]_{1}^{0}))$

Langkah 15.2

Evaluasi $\frac{u^{3}}{3}$ pada $0$ dan pada $1$ .

$- ((\frac{0^{5}}{5} + 0) - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

Langkah 15.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.3.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$- (\frac{0}{5} + 0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

Langkah 15.3.2

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.3.2.1

Faktorkan $5$ dari $0$ .

$- (\frac{5 (0)}{5} + 0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

Langkah 15.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.3.2.2.1

Faktorkan $5$ dari $5$ .

$- (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} + 0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

Langkah 15.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} + 0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

Langkah 15.3.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- (\frac{0}{1} + 0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

Langkah 15.3.2.2.4

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$- (0 + 0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

Langkah 15.3.3

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$- (0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

Langkah 15.3.4

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$- (0 - (\frac{1}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

Langkah 15.3.5

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$- (0 - (\frac{1}{5} + \frac{5}{5}) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

Langkah 15.3.6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$- (0 - \frac{1 + 5}{5} - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

Langkah 15.3.7

Tambahkan $1$ dan $5$ .

$- (0 - \frac{6}{5} - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

Langkah 15.3.8

Kurangi $\frac{6}{5}$ dengan $0$ .

$- (- \frac{6}{5} - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

Langkah 15.3.9

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$- (- \frac{6}{5} - 2 (\frac{0}{3} - \frac{1^{3}}{3}))$

Langkah 15.3.10

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.3.10.1

Faktorkan $3$ dari $0$ .

$- (- \frac{6}{5} - 2 (\frac{3 (0)}{3} - \frac{1^{3}}{3}))$

Langkah 15.3.10.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.3.10.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$- (- \frac{6}{5} - 2 (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{1^{3}}{3}))$

Langkah 15.3.10.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- (- \frac{6}{5} - 2 (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{1^{3}}{3}))$

Langkah 15.3.10.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- (- \frac{6}{5} - 2 (\frac{0}{1} - \frac{1^{3}}{3}))$

Langkah 15.3.10.2.4

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$- (- \frac{6}{5} - 2 (0 - \frac{1^{3}}{3}))$

Langkah 15.3.11

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$- (- \frac{6}{5} - 2 (0 - \frac{1}{3}))$

Langkah 15.3.12

Kurangi $\frac{1}{3}$ dengan $0$ .

$- (- \frac{6}{5} - 2 (- \frac{1}{3}))$

Langkah 15.3.13

Kalikan $- 1$ dengan $- 2$ .

$- (- \frac{6}{5} + 2 (\frac{1}{3}))$

Langkah 15.3.14

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{3}$ .

$- (- \frac{6}{5} + \frac{2}{3})$

Langkah 15.3.15

Untuk menuliskan $- \frac{6}{5}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$- (- \frac{6}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3})$

Langkah 15.3.16

Untuk menuliskan $\frac{2}{3}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{5}{5}$ .

$- (- \frac{6}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5})$

Langkah 15.3.17

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $15$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.3.17.1

Kalikan $\frac{6}{5}$ dengan $\frac{3}{3}$ .

$- (- \frac{6 \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5})$

Langkah 15.3.17.2

Kalikan $5$ dengan $3$ .

$- (- \frac{6 \cdot 3}{15} + \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5})$

Langkah 15.3.17.3

Kalikan $\frac{2}{3}$ dengan $\frac{5}{5}$ .

$- (- \frac{6 \cdot 3}{15} + \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5})$

Langkah 15.3.17.4

Kalikan $3$ dengan $5$ .

$- (- \frac{6 \cdot 3}{15} + \frac{2 \cdot 5}{15})$

Langkah 15.3.18

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$- \frac{- 6 \cdot 3 + 2 \cdot 5}{15}$

Langkah 15.3.19

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.3.19.1

Kalikan $- 6$ dengan $3$ .

$- \frac{- 18 + 2 \cdot 5}{15}$

Langkah 15.3.19.2

Kalikan $2$ dengan $5$ .

$- \frac{- 18 + 10}{15}$

Langkah 15.3.19.3

Tambahkan $- 18$ dan $10$ .

$- \frac{- 8}{15}$

Langkah 15.3.20

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- - \frac{8}{15}$

Langkah 15.3.21

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$1 (\frac{8}{15})$

Langkah 15.3.22

Kalikan $\frac{8}{15}$ dengan $1$ .

$\frac{8}{15}$

Langkah 16

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{8}{15}$

Bentuk Desimal:

$0.5\overline{3}$