Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (\frac{2 x}{3}) d x$

Langkah 1

Biarkan $u = \frac{2 x}{3}$ . Kemudian $d u = \frac{2}{3} d x$ sehingga $\frac{3}{2} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u = \frac{2 x}{3}$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $\frac{2 x}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x}{3}]$

Langkah 1.1.2

Karena $\frac{2}{3}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{2 x}{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{2}{3} \cdot 1$

Langkah 1.1.4

Kalikan $\frac{2}{3}$ dengan $1$ .

$\frac{2}{3}$

Langkah 1.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = \frac{2 x}{3}$ .

$u_{lower} = \frac{2 \cdot 0}{3}$

Langkah 1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1.1

Faktorkan $3$ dari $2 \cdot 0$ .

$u_{lower} = \frac{3 (2 \cdot 0)}{3}$

Langkah 1.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$u_{lower} = \frac{3 (2 \cdot 0)}{3 (1)}$

Langkah 1.3.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$u_{lower} = \frac{3 (2 \cdot 0)}{3 \cdot 1}$

Langkah 1.3.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$u_{lower} = \frac{2 \cdot 0}{1}$

Langkah 1.3.1.2.4

Bagilah $2 \cdot 0$ dengan $1$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Langkah 1.3.2

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$u_{lower} = 0$

Langkah 1.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = \frac{2 x}{3}$ .

$u_{upper} = \frac{2 \frac{π}{2}}{3}$

Langkah 1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Gabungkan $2$ dan $\frac{π}{2}$ .

$u_{upper} = \frac{\frac{2 π}{2}}{3}$

Langkah 1.5.2

Kurangi pernyataan tersebut dengan menghapus faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.1

Kurangi pernyataan $\frac{2 π}{2}$ dengan membatalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$u_{upper} = \frac{\frac{2 π}{2}}{3}$

Langkah 1.5.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$u_{upper} = \frac{\frac{π}{1}}{3}$

Langkah 1.5.2.2

Bagilah $π$ dengan $1$ .

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

Langkah 1.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

Langkah 1.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos (u) \frac{1}{\frac{2}{3}} d u$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Kalikan balikan dari pecahan tersebut untuk membagi dengan $\frac{2}{3}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos (u) (1 (\frac{3}{2})) d u$

Langkah 2.2

Kalikan $\frac{3}{2}$ dengan $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos (u) \frac{3}{2} d u$

Langkah 2.3

Gabungkan $\cos (u)$ dan $\frac{3}{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\cos (u) \cdot 3}{2} d u$

Langkah 2.4

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $\cos (u)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{3 \cos (u)}{2} d u$

Langkah 3

Karena $\frac{3}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{3}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{3}{2} \int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos (u) d u$

Langkah 4

Integral dari $\cos (u)$ terhadap $u$ adalah $\sin (u)$ .

$\frac{3}{2} \sin (u)]_{0}^{\frac{π}{3}}$

Langkah 5

Evaluasi $\sin (u)$ pada $\frac{π}{3}$ dan pada $0$ .

$\frac{3}{2} (\sin (\frac{π}{3}) - \sin (0))$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{3})$ adalah $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{3}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin (0))$

Langkah 6.2

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$\frac{3}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} - 0)$

Langkah 6.3

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$\frac{3}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} + 0)$

Langkah 6.4

Tambahkan $\frac{\sqrt{3}}{2}$ dan $0$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

Langkah 6.5

Kalikan $\frac{3}{2}$ dengan $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Langkah 6.6

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{3 \sqrt{3}}{4}$

Langkah 7

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{3 \sqrt{3}}{4}$

Bentuk Desimal:

$1.29903810 \dots$