Kalkulus Contoh

$\int \sqrt{x} \ln (2 x) d x$

Langkah 1

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = \ln (2 x)$ dan $d v = \sqrt{x}$ .

$\ln (2 x) (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{x} d x$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gabungkan $\frac{2}{3}$ dan $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\ln (2 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{x} d x$

Langkah 2.2

Gabungkan $\ln (2 x)$ dan $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$\frac{\ln (2 x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - \int \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{x} d x$

Langkah 3

Karena $\frac{2}{3}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{2}{3}$ keluar dari integral.

$\frac{\ln (2 x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{2}{3} \int x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{x} d x)$

Langkah 4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Gabungkan $x^{\frac{3}{2}}$ dan $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (2 x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{2}{3} \int \frac{x^{\frac{3}{2}}}{x} d x)$

Langkah 4.2

Pindahkan $x^{1}$ ke pembilang menggunakan aturan eksponen negatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{\ln (2 x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{2}{3} \int x^{\frac{3}{2}} x^{- 1} d x)$

Langkah 4.3

Kalikan $x^{\frac{3}{2}}$ dengan $x^{- 1}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{\ln (2 x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{2}{3} \int x^{\frac{3}{2} - 1} d x)$

Langkah 4.3.2

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (2 x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{2}{3} \int x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} d x)$

Langkah 4.3.3

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (2 x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{2}{3} \int x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} d x)$

Langkah 4.3.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{\ln (2 x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{2}{3} \int x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} d x)$

Langkah 4.3.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{\ln (2 x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{2}{3} \int x^{\frac{3 - 2}{2}} d x)$

Langkah 4.3.5.2

Kurangi $2$ dengan $3$ .

$\frac{\ln (2 x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{2}{3} \int x^{\frac{1}{2}} d x)$

$\frac{\ln (2 x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Langkah 5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{\frac{1}{2}}$ terhadap $x$ adalah $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{\ln (2 x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

Langkah 6

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tulis kembali $\frac{\ln (2 x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$ sebagai $\frac{2}{3} \ln (2 x) x^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{2}{3} \ln (2 x) x^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Langkah 6.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Gabungkan $\frac{2}{3}$ dan $\ln (2 x)$ .

$\frac{2 \ln (2 x)}{3} x^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Langkah 6.2.2

Gabungkan $\frac{2 \ln (2 x)}{3}$ dan $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 \ln (2 x) x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Langkah 6.2.3

Kalikan $\frac{2}{3}$ dengan $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2 \ln (2 x) x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Langkah 6.2.4

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{2 \ln (2 x) x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4}{3 \cdot 3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Langkah 6.2.5

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$\frac{2 \ln (2 x) x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4}{9} x^{\frac{3}{2}} + C$

$\frac{2}{3} \ln (2 x) x^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{9} x^{\frac{3}{2}} + C$