Kalkulus Contoh

$\int \frac{x}{x^{4} + 2 x^{2} + 1} d x$

Langkah 1

Tulis pecahan menggunakan penguraian pecahan parsial.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Uraikan pecahan dan kalikan dengan penyebut persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Faktorkan pecahannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Tulis kembali $x^{4}$ sebagai ${(x^{2})}^{2}$ .

$\frac{x}{{(x^{2})}^{2} + 2 x^{2} + 1}$

Langkah 1.1.1.2

Biarkan $u = x^{2}$ . Masukkan $u$ untuk semua kejadian $x^{2}$ .

$\frac{x}{u^{2} + 2 u + 1}$

Langkah 1.1.1.3

Faktorkan menggunakan aturan kuadrat sempurna.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.3.1

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$\frac{x}{u^{2} + 2 u + 1^{2}}$

Langkah 1.1.1.3.2

Periksa apakah suku tengahnya merupakan dua kali hasil perkalian dari bilangan yang dikuadratkan di suku pertama dan suku ketiga.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Langkah 1.1.1.3.3

Tulis kembali polinomialnya.

$\frac{x}{u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}}$

Langkah 1.1.1.3.4

Faktorkan menggunakan aturan trinomial kuadrat sempurna $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , di mana $a = u$ dan $b = 1$ .

$\frac{x}{{(u + 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.4

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2}$ .

$\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.2

Untuk setiap faktor pada penyebut, buat pecahan baru menggunakan faktor sebagai penyebutnya, dan nilai yang tidak diketahui sebagai pembilangnya. Karena faktornya adalah urutan ke-2, $2$ suku diperlukan pada pembilangnya. Jumlah suku yang diperlukan pada pembilang selalu sama dengan urutan faktor pada penyebutnya.

$\frac{A x + B}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.3

$\frac{A x + B}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{C x + D}{x^{2} + 1}$

Langkah 1.1.4

Kalikan setiap pecahan dalam persamaan dengan penyebut dari pernyataan awalnya. Dalam hal ini, penyebutnya adalah ${(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$\frac{x {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 1)}^{2}}{x^{2} + 1}$

Langkah 1.1.5

Batalkan faktor persekutuan dari ${(x^{2} + 1)}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 1)}^{2}}{x^{2} + 1}$

Langkah 1.1.5.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 1)}^{2}}{x^{2} + 1}$

Langkah 1.1.6

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.6.1

Batalkan faktor persekutuan dari ${(x^{2} + 1)}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.6.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$x = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 1)}^{2}}{x^{2} + 1}$

Langkah 1.1.6.1.2

Bagilah $A x + B$ dengan $1$ .

$x = A x + B + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 1)}^{2}}{x^{2} + 1}$

Langkah 1.1.6.2

Hapus faktor persekutuan dari ${(x^{2} + 1)}^{2}$ dan $x^{2} + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.6.2.1

Faktorkan $x^{2} + 1$ dari $(C x + D) {(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$x = A x + B + \frac{(x^{2} + 1) ((C x + D) (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Langkah 1.1.6.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.6.2.2.1

Kalikan dengan $1$ .

$x = A x + B + \frac{(x^{2} + 1) ((C x + D) (x^{2} + 1))}{(x^{2} + 1) \cdot 1}$

Langkah 1.1.6.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$x = A x + B + \frac{(x^{2} + 1) ((C x + D) (x^{2} + 1))}{(x^{2} + 1) \cdot 1}$

Langkah 1.1.6.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$x = A x + B + \frac{(C x + D) (x^{2} + 1)}{1}$

Langkah 1.1.6.2.2.4

Bagilah $(C x + D) (x^{2} + 1)$ dengan $1$ .

$x = A x + B + (C x + D) (x^{2} + 1)$

Langkah 1.1.6.3

Perluas $(C x + D) (x^{2} + 1)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.6.3.1

Terapkan sifat distributif.

$x = A x + B + C x (x^{2} + 1) + D (x^{2} + 1)$

Langkah 1.1.6.3.2

Terapkan sifat distributif.

$x = A x + B + C x \cdot x^{2} + C x \cdot 1 + D (x^{2} + 1)$

Langkah 1.1.6.3.3

Terapkan sifat distributif.

$x = A x + B + C x \cdot x^{2} + C x \cdot 1 + D x^{2} + D \cdot 1$

Langkah 1.1.6.4

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.6.4.1

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.6.4.1.1

Pindahkan $x^{2}$ .

$x = A x + B + C (x^{2} x) + C x \cdot 1 + D x^{2} + D \cdot 1$

Langkah 1.1.6.4.1.2

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.6.4.1.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$x = A x + B + C (x^{2} x) + C x \cdot 1 + D x^{2} + D \cdot 1$

Langkah 1.1.6.4.1.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$x = A x + B + C x^{2 + 1} + C x \cdot 1 + D x^{2} + D \cdot 1$

Langkah 1.1.6.4.1.3

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$x = A x + B + C x^{3} + C x \cdot 1 + D x^{2} + D \cdot 1$

Langkah 1.1.6.4.2

Kalikan $C$ dengan $1$ .

$x = A x + B + C x^{3} + C x + D x^{2} + D \cdot 1$

Langkah 1.1.6.4.3

Kalikan $D$ dengan $1$ .

$x = A x + B + C x^{3} + C x + D x^{2} + D$

Langkah 1.1.7

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.7.1

Pindahkan $B$ .

$x = A x + C x^{3} + C x + D x^{2} + B + D$

Langkah 1.1.7.2

Pindahkan $C x$ .

$x = A x + C x^{3} + D x^{2} + C x + B + D$

Langkah 1.1.7.3

Pindahkan $A x$ .

$x = C x^{3} + D x^{2} + A x + C x + B + D$

Langkah 1.2

Buatlah persamaan untuk variabel pecahan parsial dan gunakan untuk membuat sistem persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Buat persamaan dari variabel pecahan parsial dengan menyamakan koefisien $x^{3}$ dari masing-masing sisi persamaan. Agar persamaannya sama, koefisien setara pada setiap sisi persamaan harus sama.

$0 = C$

Langkah 1.2.2

Buat persamaan dari variabel pecahan parsial dengan menyamakan koefisien $x^{2}$ dari masing-masing sisi persamaan. Agar persamaannya sama, koefisien setara pada setiap sisi persamaan harus sama.

$0 = D$

Langkah 1.2.3

Buat persamaan dari variabel pecahan parsial dengan menyamakan koefisien $x$ dari masing-masing sisi persamaan. Agar persamaannya sama, koefisien setara pada setiap sisi persamaan harus sama.

$1 = A + C$

Langkah 1.2.4

Buat persamaan untuk variabel pecahan parsial dengan menyamakan koefisien suku yang tidak memuat $x$ . Agar persamaannya sama, koefisien setara pada setiap sisi persamaan harus sama.

$0 = B + D$

Langkah 1.2.5

Buat sistem persamaan untuk menentukan koefisien dari pecahan parsialnya.

$0 = C$

$0 = D$

$1 = A + C$

$0 = B + D$

$0 = C$

$0 = D$

$1 = A + C$

$0 = B + D$

Langkah 1.3

Selesaikan sistem persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $C = 0$ .

$C = 0$

$0 = D$

$1 = A + C$

$0 = B + D$

Langkah 1.3.2

Substitusikan semua kemunculan $C$ dengan $0$ dalam masing-masing persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $D = 0$ .

$D = 0$

$C = 0$

$1 = A + C$

$0 = B + D$

Langkah 1.3.2.2

Substitusikan semua kemunculan $C$ dalam $1 = A + C$ dengan $0$ .

$1 = A + 0$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B + D$

Langkah 1.3.2.3

Sederhanakan $1 = A + 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.3.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.3.1.1

Hilangkan tanda kurung.

$1 = A + 0$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B + D$

$1 = A + 0$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B + D$

Langkah 1.3.2.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.3.2.1

Tambahkan $A$ dan $0$ .

$1 = A$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B + D$

$1 = A$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B + D$

$1 = A$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B + D$

$1 = A$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B + D$

Langkah 1.3.3

Substitusikan semua kemunculan $D$ dengan $0$ dalam masing-masing persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $A = 1$ .

$A = 1$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B + D$

Langkah 1.3.3.2

Substitusikan semua kemunculan $D$ dalam $0 = B + D$ dengan $0$ .

$0 = B + 0$

$A = 1$

$D = 0$

$C = 0$

Langkah 1.3.3.3

Sederhanakan $0 = B + 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.3.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.3.1.1

Hilangkan tanda kurung.

$0 = B + 0$

$A = 1$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B + 0$

$A = 1$

$D = 0$

$C = 0$

Langkah 1.3.3.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.3.2.1

Tambahkan $B$ dan $0$ .

$0 = B$

$A = 1$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B$

$A = 1$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B$

$A = 1$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B$

$A = 1$

$D = 0$

$C = 0$

Langkah 1.3.4

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $B = 0$ .

$B = 0$

$A = 1$

$D = 0$

$C = 0$

Langkah 1.3.5

Selesaikan sistem persamaan tersebut.

$B = 0 A = 1 D = 0 C = 0$

Langkah 1.3.6

Sebutkan semua penyelesaiannya.

$B = 0, A = 1, D = 0, C = 0$

Langkah 1.4

Ganti masing-masing koefisien pecahan parsial dalam $\frac{A x + B}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{C x + D}{x^{2} + 1}$ dengan nilai-nilai yang didapat dari $A$ , $B$ , $C$ , dan $D$ .

$\frac{1 x + 0}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{0 x + 0}{x^{2} + 1}$

Langkah 1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1.1

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$\frac{x + 0}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(0) \cdot x + 0}{x^{2} + 1}$

Langkah 1.5.1.2

Tambahkan $x$ dan $0$ .

$\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(0) \cdot x + 0}{x^{2} + 1}$

Langkah 1.5.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.1

Kalikan $0$ dengan $x$ .

$\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{0 + 0}{x^{2} + 1}$

Langkah 1.5.2.2

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{0}{x^{2} + 1}$

Langkah 1.5.3

Bagilah $0$ dengan $x^{2} + 1$ .

$\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + 0$

Langkah 1.5.4

Hilangkan nol dari pernyataan tersebut.

$\int \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} d x$

Langkah 2

Biarkan $u = x^{2} + 1$ . Kemudian $d u = 2 x d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Biarkan $u = x^{2} + 1$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Diferensialkan $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Langkah 2.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 2.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 2.1.4

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$2 x + 0$

Langkah 2.1.5

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$2 x$

Langkah 2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan $\frac{1}{u^{2}}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u^{2} \cdot 2} d u$

Langkah 3.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $u^{2}$ .

$\int \frac{1}{2 u^{2}} d u$

Langkah 4

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Langkah 5

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Pindahkan $u^{2}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

Langkah 5.2

Kalikan eksponen dalam ${(u^{2})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int u^{2 \cdot - 1} d u$

Langkah 5.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int u^{- 2} d u$

Langkah 6

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{- 2}$ terhadap $u$ adalah $- u^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} (- u^{- 1} + C)$

Langkah 7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Tulis kembali $\frac{1}{2} (- u^{- 1} + C)$ sebagai $\frac{1}{2} (- \frac{1}{u}) + C$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{u}) + C$

Langkah 7.2

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{1}{u}$ .

$- \frac{1}{2 u} + C$

Langkah 8

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2} + 1$ .

$- \frac{1}{2 (x^{2} + 1)} + C$