Kalkulus Contoh

$\int \sec^{5} (x) d x$

Langkah 1

Terapkan rumus reduksi.

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3}{4} \int \sec^{3} (x) d x$

Langkah 2

Faktorkan $\sec (x)$ dari $\sec^{3} (x)$ .

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3}{4} \int \sec (x) \sec^{2} (x) d x$

Langkah 3

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = \sec (x)$ dan $d v = \sec^{2} (x)$ .

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (x) \tan (x) - \int \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) d x)$

Langkah 4

Naikkan $\tan (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (x) \tan (x) - \int \tan^{1} (x) \tan (x) \sec (x) d x)$

Langkah 5

Naikkan $\tan (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (x) \tan (x) - \int \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) \sec (x) d x)$

Langkah 6

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (x) \tan (x) - \int {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x) d x)$

Langkah 7

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (x) \tan (x) - \int \tan^{2} (x) \sec (x) d x)$

Langkah 7.2

Susun kembali $\tan^{2} (x)$ dan $\sec (x)$ .

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (x) \tan (x) - \int \sec (x) \tan^{2} (x) d x)$

Langkah 8

Menggunakan Identitas Pythagoras, tulis kembali $\tan^{2} (x)$ sebagai $- 1 + \sec^{2} (x)$ .

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (x) \tan (x) - \int \sec (x) (- 1 + \sec^{2} (x)) d x)$

Langkah 9

Sederhanakan dengan mengalikan semuanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Tulis kembali eksponensiasinya sebagai hasil kali.

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (x) \tan (x) - \int \sec (x) (- 1 + \sec (x) \sec (x)) d x)$

Langkah 9.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (x) \tan (x) - \int \sec (x) \cdot - 1 + \sec (x) (\sec (x) \sec (x)) d x)$

Langkah 9.3

Susun kembali $\sec (x)$ dan $- 1$ .

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \cdot \sec (x) + \sec (x) (\sec (x) \sec (x)) d x)$

Langkah 10

Naikkan $\sec (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{1} (x) \sec (x) \sec (x) d x)$

Langkah 11

Naikkan $\sec (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{1} (x) \sec^{1} (x) \sec (x) d x)$

Langkah 12

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + {\sec (x)}^{1 + 1} \sec (x) d x)$

Langkah 13

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{2} (x) \sec (x) d x)$

Langkah 14

Naikkan $\sec (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{2} (x) \sec^{1} (x) d x)$

Langkah 15

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + {\sec (x)}^{2 + 1} d x)$

Langkah 16

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{3} (x) d x)$

Langkah 17

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (x) \tan (x) - (\int - 1 \sec (x) d x + \int \sec^{3} (x) d x))$

Langkah 18

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (x) \tan (x) - (- \int \sec (x) d x + \int \sec^{3} (x) d x))$

Langkah 19

Integral dari $\sec (x)$ terhadap $x$ adalah $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ .

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (x) \tan (x) - (- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \int \sec^{3} (x) d x))$

Langkah 20

Sederhanakan dengan mengalikan semuanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 20.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (x) \tan (x) - - (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) - \int \sec^{3} (x) d x)$

Langkah 20.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (x) \tan (x) + 1 (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) - \int \sec^{3} (x) d x)$

Langkah 21

Ketika menyelesaikan $\int \sec^{3} (x) d x$ , kami menemukan bahwa $\int \sec^{3} (x) d x$ = $\frac{\sec (x) \tan (x) + 1 (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C)}{2}$ .

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3}{4} (\frac{\sec (x) \tan (x) + 1 (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C)}{2} + C)$

Langkah 22

Kalikan $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C$ dengan $1$ .

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3}{4} (\frac{\sec (x) \tan (x) + \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C}{2} + C)$

Langkah 23

Sederhanakan.

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3 (\sec (x) \tan (x) + \ln (| \sec (x) + \tan (x) |))}{8} + C$

Langkah 24

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 24.1

Untuk menuliskan $\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 (\sec (x) \tan (x) + \ln (| \sec (x) + \tan (x) |))}{8} + C$

Langkah 24.2

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $8$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 24.2.1

Kalikan $\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4}$ dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x) \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{3 (\sec (x) \tan (x) + \ln (| \sec (x) + \tan (x) |))}{8} + C$

Langkah 24.2.2

Kalikan $4$ dengan $2$ .

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x) \cdot 2}{8} + \frac{3 (\sec (x) \tan (x) + \ln (| \sec (x) + \tan (x) |))}{8} + C$

Langkah 24.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x) \cdot 2 + 3 (\sec (x) \tan (x) + \ln (| \sec (x) + \tan (x) |))}{8} + C$

Langkah 24.4

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $\tan (x) \sec^{3} (x)$ .

$\frac{2 \tan (x) \sec^{3} (x) + 3 (\sec (x) \tan (x) + \ln (| \sec (x) + \tan (x) |))}{8} + C$

Langkah 25

Susun kembali suku-suku.

$\frac{1}{8} (2 \tan (x) \sec^{3} (x) + 3 (\sec (x) \tan (x) + \ln (| \sec (x) + \tan (x) |))) + C$