Kalkulus Contoh

$\int \frac{x^{2} - 1}{x^{3} + x} d x$

Langkah 1

Tulis pecahan menggunakan penguraian pecahan parsial.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Uraikan pecahan dan kalikan dengan penyebut persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Faktorkan pecahannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 1^{2}}{x^{3} + x}$

Langkah 1.1.1.2

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = x$ dan $b = 1$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{3} + x}$

Langkah 1.1.1.3

Faktorkan $x$ dari $x^{3} + x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.3.1

Faktorkan $x$ dari $x^{3}$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x \cdot x^{2} + x}$

Langkah 1.1.1.3.2

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x \cdot x^{2} + x^{1}}$

Langkah 1.1.1.3.3

Faktorkan $x$ dari $x^{1}$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x \cdot x^{2} + x \cdot 1}$

Langkah 1.1.1.3.4

Faktorkan $x$ dari $x \cdot x^{2} + x \cdot 1$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x (x^{2} + 1)}$

Langkah 1.1.2

Untuk setiap faktor pada penyebut, buat pecahan baru menggunakan faktor sebagai penyebutnya, dan nilai yang tidak diketahui sebagai pembilangnya. Karena faktornya adalah urutan ke-2, $2$ suku diperlukan pada pembilangnya. Jumlah suku yang diperlukan pada pembilang selalu sama dengan urutan faktor pada penyebutnya.

$\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 1}$

Langkah 1.1.3

Kalikan setiap pecahan dalam persamaan dengan penyebut dari pernyataan awalnya. Dalam hal ini, penyebutnya adalah $x (x^{2} + 1)$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1) (x (x^{2} + 1))}{x (x^{2} + 1)} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Langkah 1.1.4

Kurangi pernyataan tersebut dengan menghapus faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{(x + 1) (x - 1) (x (x^{2} + 1))}{x (x^{2} + 1)} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Langkah 1.1.4.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{(x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Langkah 1.1.4.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2} + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{(x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Langkah 1.1.4.2.2

Bagilah $(x + 1) (x - 1)$ dengan $1$ .

$(x + 1) (x - 1) = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Langkah 1.1.5

Perluas $(x + 1) (x - 1)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.5.1

Terapkan sifat distributif.

$x (x - 1) + 1 (x - 1) = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Langkah 1.1.5.2

Terapkan sifat distributif.

$x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Langkah 1.1.5.3

Terapkan sifat distributif.

$x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Langkah 1.1.6

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.6.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.6.1.1

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Langkah 1.1.6.1.2

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $x$ .

$x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Langkah 1.1.6.1.3

Tulis kembali $- 1 x$ sebagai $- x$ .

$x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Langkah 1.1.6.1.4

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Langkah 1.1.6.1.5

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$x^{2} - x + x - 1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Langkah 1.1.6.2

Tambahkan $- x$ dan $x$ .

$x^{2} + 0 - 1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Langkah 1.1.6.3

Tambahkan $x^{2}$ dan $0$ .

$x^{2} - 1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Langkah 1.1.7

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.7.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.7.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$x^{2} - 1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Langkah 1.1.7.1.2

Bagilah $A (x^{2} + 1)$ dengan $1$ .

$x^{2} - 1 = A (x^{2} + 1) + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Langkah 1.1.7.2

Terapkan sifat distributif.

$x^{2} - 1 = A x^{2} + A \cdot 1 + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Langkah 1.1.7.3

Kalikan $A$ dengan $1$ .

$x^{2} - 1 = A x^{2} + A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Langkah 1.1.7.4

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2} + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.7.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$x^{2} - 1 = A x^{2} + A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Langkah 1.1.7.4.2

Bagilah $(B x + C) (x)$ dengan $1$ .

$x^{2} - 1 = A x^{2} + A + (B x + C) (x)$

Langkah 1.1.7.5

Terapkan sifat distributif.

$x^{2} - 1 = A x^{2} + A + B x \cdot x + C x$

Langkah 1.1.7.6

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.7.6.1

Pindahkan $x$ .

$x^{2} - 1 = A x^{2} + A + B (x \cdot x) + C x$

Langkah 1.1.7.6.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$x^{2} - 1 = A x^{2} + A + B x^{2} + C x$

Langkah 1.1.8

Pindahkan $A$ .

$x^{2} - 1 = A x^{2} + B x^{2} + C x + A$

Langkah 1.2

Buatlah persamaan untuk variabel pecahan parsial dan gunakan untuk membuat sistem persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Buat persamaan dari variabel pecahan parsial dengan menyamakan koefisien $x^{2}$ dari masing-masing sisi persamaan. Agar persamaannya sama, koefisien setara pada setiap sisi persamaan harus sama.

$1 = A + B$

Langkah 1.2.2

Buat persamaan dari variabel pecahan parsial dengan menyamakan koefisien $x$ dari masing-masing sisi persamaan. Agar persamaannya sama, koefisien setara pada setiap sisi persamaan harus sama.

$0 = C$

Langkah 1.2.3

Buat persamaan untuk variabel pecahan parsial dengan menyamakan koefisien suku yang tidak memuat $x$ . Agar persamaannya sama, koefisien setara pada setiap sisi persamaan harus sama.

$- 1 = A$

Langkah 1.2.4

Buat sistem persamaan untuk menentukan koefisien dari pecahan parsialnya.

$1 = A + B$

$0 = C$

$- 1 = A$

$1 = A + B$

$0 = C$

$- 1 = A$

Langkah 1.3

Selesaikan sistem persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $C = 0$ .

$C = 0$

$1 = A + B$

$- 1 = A$

Langkah 1.3.2

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $A = - 1$ .

$A = - 1$

$C = 0$

$1 = A + B$

Langkah 1.3.3

Substitusikan semua kemunculan $A$ dengan $- 1$ dalam masing-masing persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.1

Substitusikan semua kemunculan $A$ dalam $1 = A + B$ dengan $- 1$ .

$1 = (- 1) + B$

$A = - 1$

$C = 0$

Langkah 1.3.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.2.1

Hilangkan tanda kurung.

$1 = - 1 + B$

$A = - 1$

$C = 0$

$1 = - 1 + B$

$A = - 1$

$C = 0$

$1 = - 1 + B$

$A = - 1$

$C = 0$

Langkah 1.3.4

Selesaikan $B$ dalam $1 = - 1 + B$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.4.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $- 1 + B = 1$ .

$- 1 + B = 1$

$A = - 1$

$C = 0$

Langkah 1.3.4.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $B$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.4.2.1

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$B = 1 + 1$

$A = - 1$

$C = 0$

Langkah 1.3.4.2.2

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$B = 2$

$A = - 1$

$C = 0$

$B = 2$

$A = - 1$

$C = 0$

$B = 2$

$A = - 1$

$C = 0$

Langkah 1.3.5

Selesaikan sistem persamaan tersebut.

$B = 2 A = - 1 C = 0$

Langkah 1.3.6

Sebutkan semua penyelesaiannya.

$B = 2, A = - 1, C = 0$

Langkah 1.4

Ganti masing-masing koefisien pecahan parsial dalam $\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 1}$ dengan nilai-nilai yang didapat dari $A$ , $B$ , dan $C$ .

$- \frac{1}{x} + \frac{2 x + 0}{x^{2} + 1}$

Langkah 1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Hilangkan tanda kurung.

$\frac{- 1}{x} + \frac{(2) \cdot x + 0}{x^{2} + 1}$

Langkah 1.5.2

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$\frac{- 1}{x} + \frac{2 x}{x^{2} + 1}$

Langkah 1.5.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\int - \frac{1}{x} + \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Langkah 2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int - \frac{1}{x} d x + \int \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Langkah 3

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Langkah 4

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$- (\ln (| x |) + C) + \int \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Langkah 5

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$- (\ln (| x |) + C) + 2 \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Langkah 6

Biarkan $u = x^{2} + 1$ . Kemudian $d u = 2 x d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Biarkan $u = x^{2} + 1$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Diferensialkan $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Langkah 6.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 6.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 6.1.4

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$2 x + 0$

Langkah 6.1.5

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$2 x$

Langkah 6.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$- (\ln (| x |) + C) + 2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Langkah 7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Kalikan $\frac{1}{u}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$- (\ln (| x |) + C) + 2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Langkah 7.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $u$ .

$- (\ln (| x |) + C) + 2 \int \frac{1}{2 u} d u$

Langkah 8

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$- (\ln (| x |) + C) + 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Langkah 9

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$- (\ln (| x |) + C) + \frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Langkah 9.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- (\ln (| x |) + C) + \frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Langkah 9.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$- (\ln (| x |) + C) + 1 \int \frac{1}{u} d u$

Langkah 9.3

Kalikan $\int \frac{1}{u} d u$ dengan $1$ .

$- (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{u} d u$

Langkah 10

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| x |) + C) + \ln (| u |) + C$

Langkah 11

Sederhanakan.

$- \ln (| x |) + \ln (| u |) + C$

Langkah 12

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2} + 1$ .

$- \ln (| x |) + \ln (| x^{2} + 1 |) + C$