Kalkulus Contoh

$2 \sin (x) + \sin (2 x)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 \sin (x) + \sin (2 x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Langkah 1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 \sin (x)$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Langkah 1.2.2

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$2 \cos (x) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $2 x$ .

$2 \cos (x) + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 1.3.1.2

Turunan dari $\sin (u)$ terhadap $u$ adalah $\cos (u)$ .

$2 \cos (x) + \cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 1.3.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x$ .

$2 \cos (x) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 1.3.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \cos (x) + \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 1.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cos (x) + \cos (2 x) (2 \cdot 1)$

Langkah 1.3.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2 \cos (x) + \cos (2 x) \cdot 2$

Langkah 1.3.5

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $\cos (2 x)$ .

$f' (x) = 2 \cos (x) + 2 \cos (2 x)$

Langkah 2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 \cos (x) + 2 \cos (2 x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 \cos (x)$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$

Langkah 2.2.2

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$2 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$

Langkah 2.2.3

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 \cos (2 x)$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$- 2 \sin (x) + 2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \cos (x)$ dan $g (x) = 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $2 x$ .

$- 2 \sin (x) + 2 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Langkah 2.3.2.2

Turunan dari $\cos (u)$ terhadap $u$ adalah $- \sin (u)$ .

$- 2 \sin (x) + 2 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

Langkah 2.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x$ .

$- 2 \sin (x) + 2 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Langkah 2.3.3

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \sin (x) + 2 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Langkah 2.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 2 \sin (x) + 2 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))$

Langkah 2.3.5

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$- 2 \sin (x) + 2 (- \sin (2 x) \cdot 2)$

Langkah 2.3.6

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$- 2 \sin (x) + 2 (- 2 \sin (2 x))$

Langkah 2.3.7

Kalikan $- 2$ dengan $2$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x) - 4 \sin (2 x)$

Langkah 3

Tentukan turunan ketiganya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- 2 \sin (x) - 4 \sin (2 x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (2 x)]$

Langkah 3.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 \sin (x)$ terhadap $x$ adalah $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (2 x)]$

Langkah 3.2.2

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$- 2 \cos (x) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (2 x)]$

Langkah 3.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 4 \sin (2 x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Karena $- 4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 4 \sin (2 x)$ terhadap $x$ adalah $- 4 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$- 2 \cos (x) - 4 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Langkah 3.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $2 x$ .

$- 2 \cos (x) - 4 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Langkah 3.3.2.2

Turunan dari $\sin (u)$ terhadap $u$ adalah $\cos (u)$ .

$- 2 \cos (x) - 4 (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

Langkah 3.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x$ .

$- 2 \cos (x) - 4 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Langkah 3.3.3

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \cos (x) - 4 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Langkah 3.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 2 \cos (x) - 4 (\cos (2 x) (2 \cdot 1))$

Langkah 3.3.5

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$- 2 \cos (x) - 4 (\cos (2 x) \cdot 2)$

Langkah 3.3.6

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $\cos (2 x)$ .

$- 2 \cos (x) - 4 (2 \cdot \cos (2 x))$

Langkah 3.3.7

Kalikan $2$ dengan $- 4$ .

$f''' (x) = - 2 \cos (x) - 8 \cos (2 x)$

Langkah 4

Cari turunan keempat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- 2 \cos (x) - 8 \cos (2 x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 8 \cos (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 8 \cos (2 x)]$

Langkah 4.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 \cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 8 \cos (2 x)]$

Langkah 4.2.2

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$- 2 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- 8 \cos (2 x)]$

Langkah 4.2.3

Kalikan $- 1$ dengan $- 2$ .

$2 \sin (x) + \frac{d}{d x} [- 8 \cos (2 x)]$

Langkah 4.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 8 \cos (2 x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Karena $- 8$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 8 \cos (2 x)$ terhadap $x$ adalah $- 8 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$2 \sin (x) - 8 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Langkah 4.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \cos (x)$ dan $g (x) = 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $2 x$ .

$2 \sin (x) - 8 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Langkah 4.3.2.2

Turunan dari $\cos (u)$ terhadap $u$ adalah $- \sin (u)$ .

$2 \sin (x) - 8 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

Langkah 4.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x$ .

$2 \sin (x) - 8 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Langkah 4.3.3

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \sin (x) - 8 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Langkah 4.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \sin (x) - 8 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))$

Langkah 4.3.5

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2 \sin (x) - 8 (- \sin (2 x) \cdot 2)$

Langkah 4.3.6

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$2 \sin (x) - 8 (- 2 \sin (2 x))$

Langkah 4.3.7

Kalikan $- 2$ dengan $- 8$ .

$f^{4} (x) = 2 \sin (x) + 16 \sin (2 x)$