Kalkulus Contoh

$y = x^{\ln (x)}$

Langkah 1

Gunakan sifat-sifat logaritma untuk menyederhanakan differensiasinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tulis kembali $x^{\ln (x)}$ sebagai $e^{\ln (x^{\ln (x)})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{\ln (x)})}]$

Langkah 1.2

Perluas $\ln (x^{\ln (x)})$ dengan memindahkan $\ln (x)$ ke luar logaritma.

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x) \ln (x)}]$

Langkah 2

Naikkan $\ln (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln^{1} (x) \ln (x)}]$

Langkah 3

Naikkan $\ln (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln^{1} (x) \ln^{1} (x)}]$

Langkah 4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{d}{d x} [e^{{\ln (x)}^{1 + 1}}]$

Langkah 5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln^{2} (x)}]$

Langkah 6

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = \ln^{2} (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $\ln^{2} (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]$

Langkah 6.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ adalah $a^{u_{1}} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]$

Langkah 6.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $\ln^{2} (x)$ .

$e^{\ln^{2} (x)} \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]$

Langkah 7

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = \ln (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $\ln (x)$ .

$e^{\ln^{2} (x)} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Langkah 7.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ adalah $n {u_{2}}^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$e^{\ln^{2} (x)} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Langkah 7.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $\ln (x)$ .

$e^{\ln^{2} (x)} (2 \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Langkah 8

Turunan dari $\ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{x}$ .

$e^{\ln^{2} (x)} (2 \ln (x) \frac{1}{x})$

Langkah 9

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Gabungkan $\frac{1}{x}$ dan $2$ .

$e^{\ln^{2} (x)} (\frac{2}{x} \ln (x))$

Langkah 9.2

Gabungkan $\frac{2}{x}$ dan $\ln (x)$ .

$e^{\ln^{2} (x)} \frac{2 \ln (x)}{x}$

Langkah 9.3

Gabungkan $e^{\ln^{2} (x)}$ dan $\frac{2 \ln (x)}{x}$ .

$\frac{e^{\ln^{2} (x)} (2 \ln (x))}{x}$

Langkah 10

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{2 e^{\ln^{2} (x)} \ln (x)}{x}$

Langkah 10.2

Kalikan $2 e^{\ln^{2} (x)} \ln (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1

Susun kembali $\ln (x)$ dan $2$ .

$\frac{2 \cdot \ln (x) e^{\ln^{2} (x)}}{x}$

Langkah 10.2.2

Sederhanakan $2 \cdot \ln (x)$ dengan memindahkan $2$ ke dalam logaritma.

$\frac{\ln (x^{2}) e^{\ln^{2} (x)}}{x}$

Langkah 10.3

Susun kembali faktor-faktor dalam $\ln (x^{2}) e^{\ln^{2} (x)}$ .

$\frac{e^{\ln^{2} (x)} \ln (x^{2})}{x}$