Kalkulus Contoh

$\sum_{n = 1}^{\infty} - 4 {(- \frac{1}{2})}^{n - 1}$

Langkah 1

Jumlah deret geometri tak hingga dapat ditentukan menggunakan rumus $\frac{a}{1 - r}$ di mana $a$ adalah suku pertama dan $r$ adalah rasio antara dua suku berturut-turut.

Langkah 2

Tentukan rasio dari dua suku berturut-turut dengan memasukkan ke dalam rumus $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Substitusikan $a_{n}$ dan $a_{n + 1}$ ke dalam rumus untuk $r$ .

$r = \frac{- 4 {(- \frac{1}{2})}^{n + 1 - 1}}{- 4 {(- \frac{1}{2})}^{n - 1}}$

Langkah 2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$r = \frac{- 4 {(- \frac{1}{2})}^{n + 1 - 1}}{- 4 {(- \frac{1}{2})}^{n - 1}}$

Langkah 2.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$r = \frac{{(- \frac{1}{2})}^{n + 1 - 1}}{{(- \frac{1}{2})}^{n - 1}}$

Langkah 2.2.2

Hapus faktor persekutuan dari ${(- \frac{1}{2})}^{n + 1 - 1}$ dan ${(- \frac{1}{2})}^{n - 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Faktorkan ${(- \frac{1}{2})}^{n - 1}$ dari ${(- \frac{1}{2})}^{n + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(- \frac{1}{2})}^{n - 1} {(- \frac{1}{2})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(- \frac{1}{2})}^{n - 1}}$

Langkah 2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.2.1

Kalikan dengan $1$ .

$r = \frac{{(- \frac{1}{2})}^{n - 1} {(- \frac{1}{2})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(- \frac{1}{2})}^{n - 1} \cdot 1}$

Langkah 2.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$r = \frac{{(- \frac{1}{2})}^{n - 1} {(- \frac{1}{2})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(- \frac{1}{2})}^{n - 1} \cdot 1}$

Langkah 2.2.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$r = \frac{{(- \frac{1}{2})}^{n + 0 - (n - 1)}}{1}$

Langkah 2.2.2.2.4

Bagilah ${(- \frac{1}{2})}^{n + 0 - (n - 1)}$ dengan $1$ .

$r = {(- \frac{1}{2})}^{n + 0 - (n - 1)}$

Langkah 2.2.3

Tambahkan $n$ dan $0$ .

$r = {(- \frac{1}{2})}^{n - (n - 1)}$

Langkah 2.2.4

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.4.1

Terapkan sifat distributif.

$r = {(- \frac{1}{2})}^{n - n - - 1}$

Langkah 2.2.4.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$r = {(- \frac{1}{2})}^{n - n + 1}$

Langkah 2.2.5

Kurangi $n$ dengan $n$ .

$r = {(- \frac{1}{2})}^{0 + 1}$

Langkah 2.2.6

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$r = {(- \frac{1}{2})}^{1}$

Langkah 2.2.7

Sederhanakan.

$r = - \frac{1}{2}$

Langkah 3

Since $| r | < 1$ , the series converges.

Langkah 4

Tentukan suku pertama dalam deret dengan mensubstitusikan ke dalam batas bawah dan menyederhanakannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $1$ untuk $n$ ke dalam $- 4 {(- \frac{1}{2})}^{n - 1}$ .

$a = - 4 {(- \frac{1}{2})}^{1 - 1}$

Langkah 4.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$a = - 4 {(- \frac{1}{2})}^{0}$

Langkah 4.2.2

Gunakan kaidah pangkat ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ untuk menyebarkan pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $- \frac{1}{2}$ .

$a = - 4 ({(- 1)}^{0} {(\frac{1}{2})}^{0})$

Langkah 4.2.2.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{2}$ .

$a = - 4 ({(- 1)}^{0} \frac{1^{0}}{2^{0}})$

Langkah 4.2.3

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$a = - 4 (1 \frac{1^{0}}{2^{0}})$

Langkah 4.2.4

Kalikan $\frac{1^{0}}{2^{0}}$ dengan $1$ .

$a = - 4 \frac{1^{0}}{2^{0}}$

Langkah 4.2.5

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$a = - 4 \frac{1}{2^{0}}$

Langkah 4.2.6

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$a = - 4 (\frac{1}{1})$

Langkah 4.2.7

Batalkan faktor persekutuan dari $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.7.1

Batalkan faktor persekutuan.

$a = - 4 (\frac{1}{1})$

Langkah 4.2.7.2

Tulis kembali pernyataannya.

$a = - 4 \cdot 1$

Langkah 4.2.8

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$a = - 4$

Langkah 5

Substitusikan nilai rasio dan suku pertama ke dalam rumus penjumlahan.

$\frac{- 4}{1 - - \frac{1}{2}}$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Kalikan $- - \frac{1}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{- 4}{1 + 1 (\frac{1}{2})}$

Langkah 6.1.1.2

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $1$ .

$\frac{- 4}{1 + \frac{1}{2}}$

Langkah 6.1.2

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$\frac{- 4}{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}$

Langkah 6.1.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{- 4}{\frac{2 + 1}{2}}$

Langkah 6.1.4

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$\frac{- 4}{\frac{3}{2}}$

Langkah 6.2

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$- 4 (\frac{2}{3})$

Langkah 6.3

Kalikan $- 4 (\frac{2}{3})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Gabungkan $- 4$ dan $\frac{2}{3}$ .

$\frac{- 4 \cdot 2}{3}$

Langkah 6.3.2

Kalikan $- 4$ dengan $2$ .

$\frac{- 8}{3}$

Langkah 6.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{8}{3}$

Langkah 7

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$- \frac{8}{3}$

Bentuk Desimal:

$- 2.\overline{6}$

Bentuk Bilangan Campuran:

$- 2 \frac{2}{3}$