Kalkulus Contoh

$x \sin (y) = y \cos (x)$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (x \sin (y)) = \frac{d}{d x} (y \cos (x))$

Langkah 2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = \sin (y)$ .

$x \frac{d}{d x} [\sin (y)] + \sin (y) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [y]) + \sin (y) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.2.2

Turunan dari $\sin (u)$ terhadap $u$ adalah $\cos (u)$ .

$x (\cos (u) \frac{d}{d x} [y]) + \sin (y) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$x (\cos (y) \frac{d}{d x} [y]) + \sin (y) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$x \cos (y) y' + \sin (y) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$x \cos (y) y' + \sin (y) \cdot 1$

Langkah 2.5

Kalikan $\sin (y)$ dengan $1$ .

$x \cos (y) y' + \sin (y)$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = y$ dan $g (x) = \cos (x)$ .

$y \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 3.2

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$y (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 3.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$y (- \sin (x)) + \cos (x) y'$

Langkah 3.4

Susun kembali suku-suku.

$- y \sin (x) + \cos (x) y'$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$x \cos (y) y' + \sin (y) = - y \sin (x) + \cos (x) y'$

Langkah 5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Susun kembali faktor-faktor dalam $x \cos (y) y' + \sin (y)$ .

$x y' \cos (y) + \sin (y) = - y \sin (x) + \cos (x) y'$

Langkah 5.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Susun kembali faktor-faktor dalam $- y \sin (x) + \cos (x) y'$ .

$x y' \cos (y) + \sin (y) = - y \sin (x) + y' \cos (x)$

Langkah 5.3

Kurangkan $y' \cos (x)$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x y' \cos (y) + \sin (y) - y' \cos (x) = - y \sin (x)$

Langkah 5.4

Kurangkan $\sin (y)$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x y' \cos (y) - y' \cos (x) = - y \sin (x) - \sin (y)$

Langkah 5.5

Faktorkan $y'$ dari $x y' \cos (y) - y' \cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Faktorkan $y'$ dari $x y' \cos (y)$ .

$y' (x \cos (y)) - y' \cos (x) = - y \sin (x) - \sin (y)$

Langkah 5.5.2

Faktorkan $y'$ dari $- y' \cos (x)$ .

$y' (x \cos (y)) + y' (- 1 \cos (x)) = - y \sin (x) - \sin (y)$

Langkah 5.5.3

Faktorkan $y'$ dari $y' (x \cos (y)) + y' (- 1 \cos (x))$ .

$y' (x \cos (y) - 1 \cos (x)) = - y \sin (x) - \sin (y)$

Langkah 5.6

Tulis kembali $- 1 \cos (x)$ sebagai $- \cos (x)$ .

$y' (x \cos (y) - \cos (x)) = - y \sin (x) - \sin (y)$

Langkah 5.7

Bagi setiap suku pada $y' (x \cos (y) - \cos (x)) = - y \sin (x) - \sin (y)$ dengan $x \cos (y) - \cos (x)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.1

Bagilah setiap suku di $y' (x \cos (y) - \cos (x)) = - y \sin (x) - \sin (y)$ dengan $x \cos (y) - \cos (x)$ .

$\frac{y' (x \cos (y) - \cos (x))}{x \cos (y) - \cos (x)} = \frac{- y \sin (x)}{x \cos (y) - \cos (x)} + \frac{- \sin (y)}{x \cos (y) - \cos (x)}$

Langkah 5.7.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x \cos (y) - \cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (x \cos (y) - \cos (x))}{x \cos (y) - \cos (x)} = \frac{- y \sin (x)}{x \cos (y) - \cos (x)} + \frac{- \sin (y)}{x \cos (y) - \cos (x)}$

Langkah 5.7.2.1.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{- y \sin (x)}{x \cos (y) - \cos (x)} + \frac{- \sin (y)}{x \cos (y) - \cos (x)}$

Langkah 5.7.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.3.1.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{y \sin (x)}{x \cos (y) - \cos (x)} + \frac{- \sin (y)}{x \cos (y) - \cos (x)}$

Langkah 5.7.3.1.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{y \sin (x)}{x \cos (y) - \cos (x)} - \frac{\sin (y)}{x \cos (y) - \cos (x)}$

Langkah 5.7.3.2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.3.2.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y' = \frac{- y \sin (x) - \sin (y)}{x \cos (y) - \cos (x)}$

Langkah 5.7.3.2.2

Faktorkan $- 1$ dari $- y \sin (x)$ .

$y' = \frac{- (y \sin (x)) - \sin (y)}{x \cos (y) - \cos (x)}$

Langkah 5.7.3.2.3

Faktorkan $- 1$ dari $- \sin (y)$ .

$y' = \frac{- (y \sin (x)) - (\sin (y))}{x \cos (y) - \cos (x)}$

Langkah 5.7.3.2.4

Faktorkan $- 1$ dari $- (y \sin (x)) - (\sin (y))$ .

$y' = \frac{- (y \sin (x) + \sin (y))}{x \cos (y) - \cos (x)}$

Langkah 5.7.3.2.5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.3.2.5.1

Tulis kembali $- (y \sin (x) + \sin (y))$ sebagai $- 1 (y \sin (x) + \sin (y))$ .

$y' = \frac{- 1 (y \sin (x) + \sin (y))}{x \cos (y) - \cos (x)}$

Langkah 5.7.3.2.5.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{y \sin (x) + \sin (y)}{x \cos (y) - \cos (x)}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y \sin (x) + \sin (y)}{x \cos (y) - \cos (x)}$