Kalkulus Contoh

$x^{2} y^{2} - x y = 8$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (x^{2} y^{2} - x y) = \frac{d}{d x} (8)$

Langkah 2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} y^{2} - x y$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = y^{2}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Langkah 2.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$x^{2} (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Langkah 2.2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$x^{2} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Langkah 2.2.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$x^{2} (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Langkah 2.2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$x^{2} (2 y y') + y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- x y]$

Langkah 2.2.5

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x^{2}$ .

$2 \cdot x^{2} y y' + y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- x y]$

Langkah 2.2.6

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $y^{2}$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x + \frac{d}{d x} [- x y]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x y$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - \frac{d}{d x} [x y]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = y$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.3.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - (x y' + y \cdot 1)$

Langkah 2.3.5

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - (x y' + y)$

Langkah 2.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Terapkan sifat distributif.

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - (x y') - y$

Langkah 2.4.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - x y' - y$

Langkah 3

Karena $8$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $8$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - x y' - y = 0$

Langkah 5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y'$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Kurangkan $2 y^{2} x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 x^{2} y y' - x y' - y = - 2 y^{2} x$

Langkah 5.1.2

Tambahkan $y$ ke kedua sisi persamaan.

$2 x^{2} y y' - x y' = - 2 y^{2} x + y$

Langkah 5.2

Faktorkan $x y'$ dari $2 x^{2} y y' - x y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Faktorkan $x y'$ dari $2 x^{2} y y'$ .

$x y' (2 x y) - x y' = - 2 y^{2} x + y$

Langkah 5.2.2

Faktorkan $x y'$ dari $- x y'$ .

$x y' (2 x y) + x y' \cdot - 1 = - 2 y^{2} x + y$

Langkah 5.2.3

Faktorkan $x y'$ dari $x y' (2 x y) + x y' \cdot - 1$ .

$x y' (2 x y - 1) = - 2 y^{2} x + y$

Langkah 5.3

Bagi setiap suku pada $x y' (2 x y - 1) = - 2 y^{2} x + y$ dengan $x (2 x y - 1)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Bagilah setiap suku di $x y' (2 x y - 1) = - 2 y^{2} x + y$ dengan $x (2 x y - 1)$ .

$\frac{x y' (2 x y - 1)}{x (2 x y - 1)} = \frac{- 2 y^{2} x}{x (2 x y - 1)} + \frac{y}{x (2 x y - 1)}$

Langkah 5.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x y' (2 x y - 1)}{x (2 x y - 1)} = \frac{- 2 y^{2} x}{x (2 x y - 1)} + \frac{y}{x (2 x y - 1)}$

Langkah 5.3.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y' (2 x y - 1)}{2 x y - 1} = \frac{- 2 y^{2} x}{x (2 x y - 1)} + \frac{y}{x (2 x y - 1)}$

Langkah 5.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2 x y - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (2 x y - 1)}{2 x y - 1} = \frac{- 2 y^{2} x}{x (2 x y - 1)} + \frac{y}{x (2 x y - 1)}$

Langkah 5.3.2.2.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{- 2 y^{2} x}{x (2 x y - 1)} + \frac{y}{x (2 x y - 1)}$

Langkah 5.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \frac{- 2 y^{2} x}{x (2 x y - 1)} + \frac{y}{x (2 x y - 1)}$

Langkah 5.3.3.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \frac{- 2 y^{2}}{2 x y - 1} + \frac{y}{x (2 x y - 1)}$

Langkah 5.3.3.1.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{2 y^{2}}{2 x y - 1} + \frac{y}{x (2 x y - 1)}$

Langkah 5.3.3.2

Untuk menuliskan $- \frac{2 y^{2}}{2 x y - 1}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{2 y^{2}}{2 x y - 1} \cdot \frac{x}{x} + \frac{y}{x (2 x y - 1)}$

Langkah 5.3.3.3

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $(2 x y - 1) x$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.3.1

Kalikan $\frac{2 y^{2}}{2 x y - 1}$ dengan $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{2 y^{2} x}{(2 x y - 1) x} + \frac{y}{x (2 x y - 1)}$

Langkah 5.3.3.3.2

Susun kembali faktor-faktor dari $(2 x y - 1) x$ .

$y' = - \frac{2 y^{2} x}{x (2 x y - 1)} + \frac{y}{x (2 x y - 1)}$

Langkah 5.3.3.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y' = \frac{- 2 y^{2} x + y}{x (2 x y - 1)}$

Langkah 5.3.3.5

Faktorkan $y$ dari $- 2 y^{2} x + y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.5.1

Faktorkan $y$ dari $- 2 y^{2} x$ .

$y' = \frac{y (- 2 y x) + y}{x (2 x y - 1)}$

Langkah 5.3.3.5.2

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$y' = \frac{y (- 2 y x) + y^{1}}{x (2 x y - 1)}$

Langkah 5.3.3.5.3

Faktorkan $y$ dari $y^{1}$ .

$y' = \frac{y (- 2 y x) + y \cdot 1}{x (2 x y - 1)}$

Langkah 5.3.3.5.4

Faktorkan $y$ dari $y (- 2 y x) + y \cdot 1$ .

$y' = \frac{y (- 2 y x + 1)}{x (2 x y - 1)}$

Langkah 5.3.3.6

Hapus faktor persekutuan dari $- 2 y x + 1$ dan $2 x y - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.6.1

Faktorkan $- 1$ dari $- 2 y x$ .

$y' = \frac{y (- (2 y x) + 1)}{x (2 x y - 1)}$

Langkah 5.3.3.6.2

Tulis kembali $1$ sebagai $- 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{y (- (2 y x) - 1 (- 1))}{x (2 x y - 1)}$

Langkah 5.3.3.6.3

Faktorkan $- 1$ dari $- (2 y x) - 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{y (- (2 y x - 1))}{x (2 x y - 1)}$

Langkah 5.3.3.6.4

Tulis kembali $- (2 y x - 1)$ sebagai $- 1 (2 y x - 1)$ .

$y' = \frac{y (- 1 (2 y x - 1))}{x (2 x y - 1)}$

Langkah 5.3.3.6.5

Susun kembali suku-suku.

$y' = \frac{y (- 1 (2 x y - 1))}{x (2 x y - 1)}$

Langkah 5.3.3.6.6

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \frac{y (- 1 (2 x y - 1))}{x (2 x y - 1)}$

Langkah 5.3.3.6.7

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \frac{y \cdot (- 1)}{x}$

Langkah 5.3.3.7

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.7.1

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $y$ .

$y' = \frac{- 1 \cdot y}{x}$

Langkah 5.3.3.7.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{y}{x}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x}$