Kalkulus Contoh

$f (x) = - 3 x \sqrt{x + 1}$

Langkah 1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Kelipatan Tetap.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x + 1}$ sebagai ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 1.2

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 3 x {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ terhadap $x$ adalah $- 3 \frac{d}{d x} [x {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- 3 (x \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}] + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ dan $g (x) = x + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x + 1$ .

$- 3 (x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$- 3 (x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x + 1$ .

$- 3 (x (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 4

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$- 3 (x (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 5

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$- 3 (x (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$- 3 (x (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 7

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$- 3 (x (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 7.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$- 3 (x (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 8

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- 3 (x (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 8.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$- 3 (x (\frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 8.3

Pindahkan ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 (x (\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 8.4

Gabungkan $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ dan $x$ .

$- 3 (\frac{x}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 1] + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 9

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- 3 (\frac{x}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 10

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 3 (\frac{x}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 11

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$- 3 (\frac{x}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 12

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$- 3 (\frac{x}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 12.2

Kalikan $\frac{x}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ dengan $1$ .

$- 3 (\frac{x}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 13

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 3 (\frac{x}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Langkah 14

Kalikan ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ dengan $1$ .

$- 3 (\frac{x}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})$

Langkah 15

Untuk menuliskan ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- 3 (\frac{x}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}})$

Langkah 16

Gabungkan ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ dan $\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- 3 (\frac{x}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}})$

Langkah 17

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$- 3 \frac{x + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 18

Kalikan ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ dengan ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.1

Pindahkan ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- 3 \frac{x + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 18.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$- 3 \frac{x + {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 18.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$- 3 \frac{x + {(x + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 18.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$- 3 \frac{x + {(x + 1)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 18.5

Bagilah $2$ dengan $2$ .

$- 3 \frac{x + {(x + 1)}^{1} \cdot 2}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 19

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.1

Sederhanakan ${(x + 1)}^{1} \cdot 2$ .

$- 3 \frac{x + (x + 1) \cdot 2}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 19.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x + 1$ .

$- 3 \frac{x + 2 \cdot (x + 1)}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 20

Gabungkan $- 3$ dan $\frac{x + 2 (x + 1)}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 3 (x + 2 (x + 1))}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 21

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{3 (x + 2 (x + 1))}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 22

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 22.1

Terapkan sifat distributif.

$- \frac{3 (x + 2 x + 2 \cdot 1)}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 22.2

Terapkan sifat distributif.

$- \frac{3 x + 3 (2 x) + 3 (2 \cdot 1)}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 22.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 22.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 22.3.1.1

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$- \frac{3 x + 6 x + 3 (2 \cdot 1)}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 22.3.1.2

Kalikan $3 (2 \cdot 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 22.3.1.2.1

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$- \frac{3 x + 6 x + 3 \cdot 2}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 22.3.1.2.2

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$- \frac{3 x + 6 x + 6}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 22.3.2

Tambahkan $3 x$ dan $6 x$ .

$- \frac{9 x + 6}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 22.4

Faktorkan $3$ dari $9 x + 6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 22.4.1

Faktorkan $3$ dari $9 x$ .

$- \frac{3 (3 x) + 6}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 22.4.2

Faktorkan $3$ dari $6$ .

$- \frac{3 (3 x) + 3 (2)}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 22.4.3

Faktorkan $3$ dari $3 (3 x) + 3 (2)$ .

$- \frac{3 (3 x + 2)}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$