Kalkulus Contoh

$f (x) = \frac{1 - x^{2}}{1 + x^{2}}$

Langkah 1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = 1 - x^{2}$ dan $g (x) = 1 + x^{2}$ .

$\frac{(1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x^{2}] - (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Langkah 2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 - x^{2}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{(1 + x^{2}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) - (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Langkah 2.2

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{(1 + x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) - (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Langkah 2.3

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{(1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [- x^{2}] - (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Langkah 2.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(1 + x^{2}) (- \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Langkah 2.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{(1 + x^{2}) (- (2 x)) - (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Langkah 2.6

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{(1 + x^{2}) (- 2 x) - (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Langkah 2.7

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + x^{2}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(1 + x^{2}) (- 2 x) - (1 - x^{2}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Langkah 2.8

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{(1 + x^{2}) (- 2 x) - (1 - x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Langkah 2.9

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(1 + x^{2}) (- 2 x) - (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Langkah 2.10

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{(1 + x^{2}) (- 2 x) - (1 - x^{2}) (2 x)}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Langkah 2.11

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{(1 + x^{2}) (- 2 x) - 2 (1 - x^{2}) x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1 (- 2 x) + x^{2} (- 2 x) - 2 (1 - x^{2}) x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Langkah 3.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1 (- 2 x) + x^{2} (- 2 x) + (- 2 \cdot 1 - 2 (- x^{2})) x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Langkah 3.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1 (- 2 x) + x^{2} (- 2 x) - 2 \cdot 1 x - 2 (- x^{2}) x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Langkah 3.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1.1

Kalikan $- 2 x$ dengan $1$ .

$\frac{- 2 x + x^{2} (- 2 x) - 2 \cdot 1 x - 2 (- x^{2}) x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Langkah 3.4.1.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{- 2 x - 2 x^{2} x - 2 \cdot 1 x - 2 (- x^{2}) x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Langkah 3.4.1.3

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1.3.1

Pindahkan $x$ .

$\frac{- 2 x - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 \cdot 1 x - 2 (- x^{2}) x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Langkah 3.4.1.3.2

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1.3.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{- 2 x - 2 (x^{1} x^{2}) - 2 \cdot 1 x - 2 (- x^{2}) x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Langkah 3.4.1.3.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{- 2 x - 2 x^{1 + 2} - 2 \cdot 1 x - 2 (- x^{2}) x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Langkah 3.4.1.3.3

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$\frac{- 2 x - 2 x^{3} - 2 \cdot 1 x - 2 (- x^{2}) x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Langkah 3.4.1.4

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$\frac{- 2 x - 2 x^{3} - 2 x - 2 (- x^{2}) x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Langkah 3.4.1.5

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1.5.1

Pindahkan $x$ .

$\frac{- 2 x - 2 x^{3} - 2 x - 2 (- (x \cdot x^{2}))}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Langkah 3.4.1.5.2

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1.5.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{- 2 x - 2 x^{3} - 2 x - 2 (- (x^{1} x^{2}))}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Langkah 3.4.1.5.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{- 2 x - 2 x^{3} - 2 x - 2 (- x^{1 + 2})}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Langkah 3.4.1.5.3

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$\frac{- 2 x - 2 x^{3} - 2 x - 2 (- x^{3})}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Langkah 3.4.1.6

Kalikan $- 1$ dengan $- 2$ .

$\frac{- 2 x - 2 x^{3} - 2 x + 2 x^{3}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Langkah 3.4.2

Gabungkan suku balikan dalam $- 2 x - 2 x^{3} - 2 x + 2 x^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Tambahkan $- 2 x^{3}$ dan $2 x^{3}$ .

$\frac{- 2 x - 2 x + 0}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Langkah 3.4.2.2

Tambahkan $- 2 x - 2 x$ dan $0$ .

$\frac{- 2 x - 2 x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Langkah 3.4.3

Kurangi $2 x$ dengan $- 2 x$ .

$\frac{- 4 x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Langkah 3.5

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{4 x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$