Kalkulus Contoh

$y = \sqrt{\sin (\sqrt{x})}$

Langkah 1

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{\sin (x^{\frac{1}{2}})}]$

Langkah 1.2

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{\sin (x^{\frac{1}{2}})}$ sebagai ${\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ dan $g (x) = \sin (x^{\frac{1}{2}})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $\sin (x^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\sin (x^{\frac{1}{2}})]$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ adalah $n {u_{1}}^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\sin (x^{\frac{1}{2}})]$

Langkah 2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $\sin (x^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{1}{2} {\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\sin (x^{\frac{1}{2}})]$

Langkah 3

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x^{\frac{1}{2}})]$

Langkah 4

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x^{\frac{1}{2}})]$

Langkah 5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{2} {\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x^{\frac{1}{2}})]$

Langkah 6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{1}{2} {\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x^{\frac{1}{2}})]$

Langkah 6.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} {\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x^{\frac{1}{2}})]$

Langkah 7

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{2} {\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x^{\frac{1}{2}})]$

Langkah 7.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan ${\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\sin (x^{\frac{1}{2}})]$

Langkah 7.3

Pindahkan ${\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\sin (x^{\frac{1}{2}})]$

Langkah 8

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 {\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Langkah 8.2

Turunan dari $\sin (u_{2})$ terhadap $u_{2}$ adalah $\cos (u_{2})$ .

$\frac{1}{2 {\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Langkah 8.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 {\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\cos (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Langkah 9

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Gabungkan $\cos (x^{\frac{1}{2}})$ dan $\frac{1}{2 {\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{2}})}{2 {\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 9.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{2}})}{2 {\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Langkah 10

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{2}})}{2 {\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Langkah 11

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{2}})}{2 {\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Langkah 12

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{2}})}{2 {\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Langkah 13

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{2}})}{2 {\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Langkah 13.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{2}})}{2 {\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Langkah 14

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{2}})}{2 {\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Langkah 15

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{2}})}{2 {\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Langkah 16

Kalikan $\frac{\cos (x^{\frac{1}{2}})}{2 {\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$ dengan $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{2}}) x^{- \frac{1}{2}}}{2 {\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

Langkah 17

Kalikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.1

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{2}}) x^{- \frac{1}{2}}}{4 {\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 17.2

Pindahkan $x^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{2}})}{4 {\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 18

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.1

Susun kembali suku-suku.

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{2}})}{4 x^{\frac{1}{2}} {\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 18.2

Pisahkan pecahan.

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{2}})}{4 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{{\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 18.3

Konversikan dari $\frac{1}{{\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$ ke ${\csc (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{2}})}{4 x^{\frac{1}{2}}} {\csc (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$

Langkah 18.4

Gabungkan $\frac{\cos (x^{\frac{1}{2}})}{4 x^{\frac{1}{2}}}$ dan ${\csc (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{2}}) {\csc (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}{4 x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 18.5

Susun kembali faktor-faktor dalam $\frac{\cos (x^{\frac{1}{2}}) {\csc (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}{4 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{\csc (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} \cos (x^{\frac{1}{2}})}{4 x^{\frac{1}{2}}}$