Kalkulus Contoh

${(\frac{x + 5}{x^{2} + 2})}^{2}$

Langkah 1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = \frac{x + 5}{x^{2} + 2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\frac{x + 5}{x^{2} + 2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\frac{x + 5}{x^{2} + 2}]$

Langkah 1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [\frac{x + 5}{x^{2} + 2}]$

Langkah 1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\frac{x + 5}{x^{2} + 2}$ .

$2 \frac{x + 5}{x^{2} + 2} \frac{d}{d x} [\frac{x + 5}{x^{2} + 2}]$

Langkah 2

Gabungkan $2$ dan $\frac{x + 5}{x^{2} + 2}$ .

$\frac{2 (x + 5)}{x^{2} + 2} \frac{d}{d x} [\frac{x + 5}{x^{2} + 2}]$

Langkah 3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = x + 5$ dan $g (x) = x^{2} + 2$ .

$\frac{2 (x + 5)}{x^{2} + 2} \cdot \frac{(x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [x + 5] - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Langkah 4

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 5$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{2 (x + 5)}{x^{2} + 2} \cdot \frac{(x^{2} + 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Langkah 4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{2 (x + 5)}{x^{2} + 2} \cdot \frac{(x^{2} + 2) (1 + \frac{d}{d x} [5]) - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Langkah 4.3

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{2 (x + 5)}{x^{2} + 2} \cdot \frac{(x^{2} + 2) (1 + 0) - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Langkah 4.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$\frac{2 (x + 5)}{x^{2} + 2} \cdot \frac{(x^{2} + 2) \cdot 1 - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Langkah 4.4.2

Kalikan $x^{2} + 2$ dengan $1$ .

$\frac{2 (x + 5)}{x^{2} + 2} \cdot \frac{x^{2} + 2 - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Langkah 4.5

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 2$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{2 (x + 5)}{x^{2} + 2} \cdot \frac{x^{2} + 2 - (x + 5) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2])}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Langkah 4.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{2 (x + 5)}{x^{2} + 2} \cdot \frac{x^{2} + 2 - (x + 5) (2 x + \frac{d}{d x} [2])}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Langkah 4.7

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{2 (x + 5)}{x^{2} + 2} \cdot \frac{x^{2} + 2 - (x + 5) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Langkah 4.8

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.8.1

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$\frac{2 (x + 5)}{x^{2} + 2} \cdot \frac{x^{2} + 2 - (x + 5) (2 x)}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Langkah 4.8.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{2 (x + 5)}{x^{2} + 2} \cdot \frac{x^{2} + 2 - 2 (x + 5) x}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Langkah 4.8.3

Kalikan $\frac{2 (x + 5)}{x^{2} + 2}$ dengan $\frac{x^{2} + 2 - 2 (x + 5) x}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$ .

$\frac{2 (x + 5) (x^{2} + 2 - 2 (x + 5) x)}{(x^{2} + 2) {(x^{2} + 2)}^{2}}$

Langkah 5

Kalikan $x^{2} + 2$ dengan ${(x^{2} + 2)}^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Kalikan $x^{2} + 2$ dengan ${(x^{2} + 2)}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Naikkan $x^{2} + 2$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{2 (x + 5) (x^{2} + 2 - 2 (x + 5) x)}{{(x^{2} + 2)}^{1} {(x^{2} + 2)}^{2}}$

Langkah 5.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{2 (x + 5) (x^{2} + 2 - 2 (x + 5) x)}{{(x^{2} + 2)}^{1 + 2}}$

Langkah 5.2

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$\frac{2 (x + 5) (x^{2} + 2 - 2 (x + 5) x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{(2 x + 2 \cdot 5) (x^{2} + 2 - 2 (x + 5) x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

Langkah 6.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{(2 x + 2 \cdot 5) (x^{2} + 2 + (- 2 x - 2 \cdot 5) x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

Langkah 6.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{(2 x + 2 \cdot 5) (x^{2} + 2 - 2 x \cdot x - 2 \cdot 5 x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

Langkah 6.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1

Kalikan $2$ dengan $5$ .

$\frac{(2 x + 10) (x^{2} + 2 - 2 x \cdot x - 2 \cdot 5 x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

Langkah 6.4.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.2.1

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.2.1.1

Pindahkan $x$ .

$\frac{(2 x + 10) (x^{2} + 2 - 2 (x \cdot x) - 2 \cdot 5 x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

Langkah 6.4.2.1.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$\frac{(2 x + 10) (x^{2} + 2 - 2 x^{2} - 2 \cdot 5 x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

Langkah 6.4.2.2

Kalikan $- 2$ dengan $5$ .

$\frac{(2 x + 10) (x^{2} + 2 - 2 x^{2} - 10 x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

Langkah 6.4.3

Kurangi $2 x^{2}$ dengan $x^{2}$ .

$\frac{(2 x + 10) (- x^{2} + 2 - 10 x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

Langkah 6.4.4

Perluas $(2 x + 10) (- x^{2} + 2 - 10 x)$ dengan mengalikan setiap suku dalam pernyataan pertama dengan setiap suku dalam pernyataan kedua.

$\frac{2 x (- x^{2}) + 2 x \cdot 2 + 2 x (- 10 x) + 10 (- x^{2}) + 10 \cdot 2 + 10 (- 10 x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

Langkah 6.4.5

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.5.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{2 \cdot - 1 x \cdot x^{2} + 2 x \cdot 2 + 2 x (- 10 x) + 10 (- x^{2}) + 10 \cdot 2 + 10 (- 10 x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

Langkah 6.4.5.2

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.5.2.1

Pindahkan $x^{2}$ .

$\frac{2 \cdot - 1 (x^{2} x) + 2 x \cdot 2 + 2 x (- 10 x) + 10 (- x^{2}) + 10 \cdot 2 + 10 (- 10 x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

Langkah 6.4.5.2.2

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.5.2.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{2 \cdot - 1 (x^{2} x^{1}) + 2 x \cdot 2 + 2 x (- 10 x) + 10 (- x^{2}) + 10 \cdot 2 + 10 (- 10 x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

Langkah 6.4.5.2.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{2 \cdot - 1 x^{2 + 1} + 2 x \cdot 2 + 2 x (- 10 x) + 10 (- x^{2}) + 10 \cdot 2 + 10 (- 10 x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

Langkah 6.4.5.2.3

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$\frac{2 \cdot - 1 x^{3} + 2 x \cdot 2 + 2 x (- 10 x) + 10 (- x^{2}) + 10 \cdot 2 + 10 (- 10 x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

Langkah 6.4.5.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{- 2 x^{3} + 2 x \cdot 2 + 2 x (- 10 x) + 10 (- x^{2}) + 10 \cdot 2 + 10 (- 10 x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

Langkah 6.4.5.4

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{- 2 x^{3} + 4 x + 2 x (- 10 x) + 10 (- x^{2}) + 10 \cdot 2 + 10 (- 10 x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

Langkah 6.4.5.5

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{- 2 x^{3} + 4 x + 2 \cdot - 10 x \cdot x + 10 (- x^{2}) + 10 \cdot 2 + 10 (- 10 x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

Langkah 6.4.5.6

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.5.6.1

Pindahkan $x$ .

$\frac{- 2 x^{3} + 4 x + 2 \cdot - 10 (x \cdot x) + 10 (- x^{2}) + 10 \cdot 2 + 10 (- 10 x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

Langkah 6.4.5.6.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$\frac{- 2 x^{3} + 4 x + 2 \cdot - 10 x^{2} + 10 (- x^{2}) + 10 \cdot 2 + 10 (- 10 x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

Langkah 6.4.5.7

Kalikan $2$ dengan $- 10$ .

$\frac{- 2 x^{3} + 4 x - 20 x^{2} + 10 (- x^{2}) + 10 \cdot 2 + 10 (- 10 x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

Langkah 6.4.5.8

Kalikan $- 1$ dengan $10$ .

$\frac{- 2 x^{3} + 4 x - 20 x^{2} - 10 x^{2} + 10 \cdot 2 + 10 (- 10 x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

Langkah 6.4.5.9

Kalikan $10$ dengan $2$ .

$\frac{- 2 x^{3} + 4 x - 20 x^{2} - 10 x^{2} + 20 + 10 (- 10 x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

Langkah 6.4.5.10

Kalikan $- 10$ dengan $10$ .

$\frac{- 2 x^{3} + 4 x - 20 x^{2} - 10 x^{2} + 20 - 100 x}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

Langkah 6.4.6

Kurangi $100 x$ dengan $4 x$ .

$\frac{- 2 x^{3} - 20 x^{2} - 10 x^{2} + 20 - 96 x}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

Langkah 6.4.7

Kurangi $10 x^{2}$ dengan $- 20 x^{2}$ .

$\frac{- 2 x^{3} - 30 x^{2} + 20 - 96 x}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

Langkah 6.5

Susun kembali suku-suku.

$\frac{- 2 x^{3} - 30 x^{2} - 96 x + 20}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

Langkah 6.6

Faktorkan $2$ dari $- 2 x^{3} - 30 x^{2} - 96 x + 20$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.6.1

Faktorkan $2$ dari $- 2 x^{3}$ .

$\frac{2 (- x^{3}) - 30 x^{2} - 96 x + 20}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

Langkah 6.6.2

Faktorkan $2$ dari $- 30 x^{2}$ .

$\frac{2 (- x^{3}) + 2 (- 15 x^{2}) - 96 x + 20}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

Langkah 6.6.3

Faktorkan $2$ dari $- 96 x$ .

$\frac{2 (- x^{3}) + 2 (- 15 x^{2}) + 2 (- 48 x) + 20}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

Langkah 6.6.4

Faktorkan $2$ dari $20$ .

$\frac{2 (- x^{3}) + 2 (- 15 x^{2}) + 2 (- 48 x) + 2 (10)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

Langkah 6.6.5

Faktorkan $2$ dari $2 (- x^{3}) + 2 (- 15 x^{2})$ .

$\frac{2 (- x^{3} - 15 x^{2}) + 2 (- 48 x) + 2 (10)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

Langkah 6.6.6

Faktorkan $2$ dari $2 (- x^{3} - 15 x^{2}) + 2 (- 48 x)$ .

$\frac{2 (- x^{3} - 15 x^{2} - 48 x) + 2 (10)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

Langkah 6.6.7

Faktorkan $2$ dari $2 (- x^{3} - 15 x^{2} - 48 x) + 2 (10)$ .

$\frac{2 (- x^{3} - 15 x^{2} - 48 x + 10)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

Langkah 6.7

Faktorkan $- 1$ dari $- x^{3}$ .

$\frac{2 (- (x^{3}) - 15 x^{2} - 48 x + 10)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

Langkah 6.8

Faktorkan $- 1$ dari $- 15 x^{2}$ .

$\frac{2 (- (x^{3}) - (15 x^{2}) - 48 x + 10)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

Langkah 6.9

Faktorkan $- 1$ dari $- (x^{3}) - (15 x^{2})$ .

$\frac{2 (- (x^{3} + 15 x^{2}) - 48 x + 10)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

Langkah 6.10

Faktorkan $- 1$ dari $- 48 x$ .

$\frac{2 (- (x^{3} + 15 x^{2}) - (48 x) + 10)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

Langkah 6.11

Faktorkan $- 1$ dari $- (x^{3} + 15 x^{2}) - (48 x)$ .

$\frac{2 (- (x^{3} + 15 x^{2} + 48 x) + 10)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

Langkah 6.12

Tulis kembali $10$ sebagai $- 1 (- 10)$ .

$\frac{2 (- (x^{3} + 15 x^{2} + 48 x) - 1 (- 10))}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

Langkah 6.13

Faktorkan $- 1$ dari $- (x^{3} + 15 x^{2} + 48 x) - 1 (- 10)$ .

$\frac{2 (- (x^{3} + 15 x^{2} + 48 x - 10))}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

Langkah 6.14

Tulis kembali $- (x^{3} + 15 x^{2} + 48 x - 10)$ sebagai $- 1 (x^{3} + 15 x^{2} + 48 x - 10)$ .

$\frac{2 (- 1 (x^{3} + 15 x^{2} + 48 x - 10))}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

Langkah 6.15

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{2 (x^{3} + 15 x^{2} + 48 x - 10)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$