Kalkulus Contoh

$y = 7 \arctan (x - \sqrt{1 + x^{2}})$

Langkah 1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Kelipatan Tetap.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{1 + x^{2}}$ sebagai ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [7 \arctan (x - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})]$

Langkah 1.2

Karena $7$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $7 \arctan (x - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})$ terhadap $x$ adalah $7 \frac{d}{d x} [\arctan (x - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})]$ .

$7 \frac{d}{d x} [\arctan (x - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})]$

Langkah 2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \arctan (x)$ dan $g (x) = x - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $x - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$7 (\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})] \frac{d}{d x} [x - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}])$

Langkah 2.2

Turunan dari $\arctan (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ .

$7 (\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d x} [x - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}])$

Langkah 2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $x - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$7 (\frac{1}{1 + {(x - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [x - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}])$

Langkah 3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Gabungkan $\frac{1}{1 + {(x - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ dan $7$ .

$\frac{7}{1 + {(x - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [x - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{7}{1 + {(x - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}])$

Langkah 3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{7}{1 + {(x - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (1 + \frac{d}{d x} [- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}])$

Langkah 3.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{7}{1 + {(x - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (1 - \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}])$

Langkah 4

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ dan $g (x) = 1 + x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $1 + x^{2}$ .

$\frac{7}{1 + {(x - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (1 - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]))$

Langkah 4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ adalah $n {u_{2}}^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{7}{1 + {(x - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (1 - (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]))$

Langkah 4.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $1 + x^{2}$ .

$\frac{7}{1 + {(x - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (1 - (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]))$

Langkah 5

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{7}{1 + {(x - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (1 - (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]))$

Langkah 6

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{7}{1 + {(x - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (1 - (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]))$

Langkah 7

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{7}{1 + {(x - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (1 - (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]))$

Langkah 8

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{7}{1 + {(x - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (1 - (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]))$

Langkah 8.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$\frac{7}{1 + {(x - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (1 - (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]))$

Langkah 9

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{7}{1 + {(x - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (1 - (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]))$

Langkah 9.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan ${(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{7}{1 + {(x - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (1 - (\frac{{(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]))$

Langkah 9.3

Pindahkan ${(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{7}{1 + {(x - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (1 - (\frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]))$

Langkah 10

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + x^{2}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{7}{1 + {(x - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (1 - \frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

Langkah 11

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{7}{1 + {(x - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (1 - \frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

Langkah 12

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{7}{1 + {(x - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (1 - \frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 13

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{7}{1 + {(x - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (1 - \frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 x))$

Langkah 14

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{7}{1 + {(x - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (1 - 2 \frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x)$

Langkah 14.2

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{7}{1 + {(x - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (1 + \frac{- 2}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x)$

Langkah 14.3

Gabungkan $\frac{- 2}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ dan $x$ .

$\frac{7}{1 + {(x - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (1 + \frac{- 2 x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Langkah 14.4

Faktorkan $2$ dari $- 2 x$ .

$\frac{7}{1 + {(x - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (1 + \frac{2 (- x)}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Langkah 15

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Faktorkan $2$ dari $2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{7}{1 + {(x - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (1 + \frac{2 (- x)}{2 ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})})$

Langkah 15.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{7}{1 + {(x - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (1 + \frac{2 (- x)}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Langkah 15.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{7}{1 + {(x - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (1 + \frac{- x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Langkah 16

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{7}{1 + {(x - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (1 - \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Langkah 17

Susun kembali faktor-faktor dari $\frac{7}{1 + {(x - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (1 - \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})$ .

$(1 - \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) \frac{7}{1 + {(x - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$