Kalkulus Contoh

$y = 1 - x^{2}$ , $y = 0$

Langkah 1

Untuk menghitung volume benda padat, pertama-tama tetapkan daerah dari setiap potongan kemudian integralkan di seluruh jangkauan. Daerah dari setiap potongan adalah daerah lingkaran dengan jari-jari $f (x)$ dan $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{- 1}^{1} {(f (x))}^{2} d x$ di mana $f (x) = - x^{2} + 1$

Langkah 2

Sederhanakan integrannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis kembali ${(- x^{2} + 1)}^{2}$ sebagai $(- x^{2} + 1) (- x^{2} + 1)$ .

$V = (- x^{2} + 1) (- x^{2} + 1)$

Langkah 2.2

Perluas $(- x^{2} + 1) (- x^{2} + 1)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Terapkan sifat distributif.

$V = - x^{2} (- x^{2} + 1) + 1 (- x^{2} + 1)$

Langkah 2.2.2

Terapkan sifat distributif.

$V = - x^{2} (- x^{2}) - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2} + 1)$

Langkah 2.2.3

Terapkan sifat distributif.

$V = - x^{2} (- x^{2}) - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1$

Langkah 2.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$V = - 1 \cdot (- 1 x^{2} x^{2}) - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1$

Langkah 2.3.1.2

Kalikan $x^{2}$ dengan $x^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.2.1

Pindahkan $x^{2}$ .

$V = - 1 \cdot (- 1 (x^{2} x^{2})) - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1$

Langkah 2.3.1.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$V = - 1 \cdot (- 1 x^{2 + 2}) - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1$

Langkah 2.3.1.2.3

Tambahkan $2$ dan $2$ .

$V = - 1 \cdot (- 1 x^{4}) - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1$

Langkah 2.3.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$V = 1 x^{4} - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1$

Langkah 2.3.1.4

Kalikan $x^{4}$ dengan $1$ .

$V = x^{4} - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1$

Langkah 2.3.1.5

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$V = x^{4} - x^{2} + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1$

Langkah 2.3.1.6

Kalikan $- x^{2}$ dengan $1$ .

$V = x^{4} - x^{2} - x^{2} + 1 \cdot 1$

Langkah 2.3.1.7

Kalikan $1$ dengan $1$ .

$V = x^{4} - x^{2} - x^{2} + 1$

Langkah 2.3.2

Kurangi $x^{2}$ dengan $- x^{2}$ .

$V = x^{4} - 2 x^{2} + 1$

Langkah 3

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$V = π (\int_{- 1}^{1} x^{4} d x + \int_{- 1}^{1} - 2 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} d x)$

Langkah 4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{4}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$V = π (\frac{1}{5} x^{5}]_{- 1}^{1} + \int_{- 1}^{1} - 2 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} d x)$

Langkah 5

Gabungkan $\frac{1}{5}$ dan $x^{5}$ .

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1} + \int_{- 1}^{1} - 2 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} d x)$

Langkah 6

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 2$ keluar dari integral.

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1} - 2 \int_{- 1}^{1} x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} d x)$

Langkah 7

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1} - 2 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} d x)$

Langkah 8

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $x^{3}$ .

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1} - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} d x)$

Langkah 9

Terapkan aturan konstanta.

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1} - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + x]_{- 1}^{1})$

Langkah 10

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Gabungkan $\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1}$ dan $x]_{- 1}^{1}$ .

$V = π (\frac{x^{5}}{5} + x]_{- 1}^{1} - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}))$

Langkah 10.2

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1

Evaluasi $\frac{x^{5}}{5} + x$ pada $1$ dan pada $- 1$ .

$V = π ((\frac{1^{5}}{5} + 1) - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - 1) - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}))$

Langkah 10.2.2

Evaluasi $\frac{x^{3}}{3}$ pada $1$ dan pada $- 1$ .

$V = π ((\frac{1^{5}}{5} + 1) - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - 1) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Langkah 10.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.3.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$V = π (\frac{1}{5} + 1 - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - 1) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Langkah 10.2.3.2

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$V = π (\frac{1}{5} + \frac{5}{5} - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - 1) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Langkah 10.2.3.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$V = π (\frac{1 + 5}{5} - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - 1) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Langkah 10.2.3.4

Tambahkan $1$ dan $5$ .

$V = π (\frac{6}{5} - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - 1) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Langkah 10.2.3.5

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $5$ .

$V = π (\frac{6}{5} - (\frac{- 1}{5} - 1) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Langkah 10.2.3.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$V = π (\frac{6}{5} - (- \frac{1}{5} - 1) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Langkah 10.2.3.7

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{6}{5} - (- \frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Langkah 10.2.3.8

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{6}{5} - (- \frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Langkah 10.2.3.9

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$V = π (\frac{6}{5} - \frac{- 1 - 1 \cdot 5}{5} - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Langkah 10.2.3.10

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.3.10.1

Kalikan $- 1$ dengan $5$ .

$V = π (\frac{6}{5} - \frac{- 1 - 5}{5} - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Langkah 10.2.3.10.2

Kurangi $5$ dengan $- 1$ .

$V = π (\frac{6}{5} - \frac{- 6}{5} - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Langkah 10.2.3.11

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$V = π (\frac{6}{5} + \frac{6}{5} - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Langkah 10.2.3.12

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$V = π (\frac{6}{5} + 1 (\frac{6}{5}) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Langkah 10.2.3.13

Kalikan $\frac{6}{5}$ dengan $1$ .

$V = π (\frac{6}{5} + \frac{6}{5} - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Langkah 10.2.3.14

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$V = π (\frac{6 + 6}{5} - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Langkah 10.2.3.15

Tambahkan $6$ dan $6$ .

$V = π (\frac{12}{5} - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Langkah 10.2.3.16

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$V = π (\frac{12}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Langkah 10.2.3.17

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $3$ .

$V = π (\frac{12}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{- 1}{3}))$

Langkah 10.2.3.18

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$V = π (\frac{12}{5} - 2 (\frac{1}{3} + \frac{1}{3}))$

Langkah 10.2.3.19

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$V = π (\frac{12}{5} - 2 (\frac{1}{3} + 1 (\frac{1}{3})))$

Langkah 10.2.3.20

Kalikan $\frac{1}{3}$ dengan $1$ .

$V = π (\frac{12}{5} - 2 (\frac{1}{3} + \frac{1}{3}))$

Langkah 10.2.3.21

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$V = π (\frac{12}{5} - 2 \frac{1 + 1}{3})$

Langkah 10.2.3.22

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$V = π (\frac{12}{5} - 2 (\frac{2}{3}))$

Langkah 10.2.3.23

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{2}{3}$ .

$V = π (\frac{12}{5} + \frac{- 2 \cdot 2}{3})$

Langkah 10.2.3.24

Kalikan $- 2$ dengan $2$ .

$V = π (\frac{12}{5} + \frac{- 4}{3})$

Langkah 10.2.3.25

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$V = π (\frac{12}{5} - \frac{4}{3})$

Langkah 10.2.3.26

Untuk menuliskan $\frac{12}{5}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{12}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{4}{3})$

Langkah 10.2.3.27

Untuk menuliskan $- \frac{4}{3}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{12}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{4}{3} \cdot \frac{5}{5})$

Langkah 10.2.3.28

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $15$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.3.28.1

Kalikan $\frac{12}{5}$ dengan $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{12 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{4}{3} \cdot \frac{5}{5})$

Langkah 10.2.3.28.2

Kalikan $5$ dengan $3$ .

$V = π (\frac{12 \cdot 3}{15} - \frac{4}{3} \cdot \frac{5}{5})$

Langkah 10.2.3.28.3

Kalikan $\frac{4}{3}$ dengan $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{12 \cdot 3}{15} - \frac{4 \cdot 5}{3 \cdot 5})$

Langkah 10.2.3.28.4

Kalikan $3$ dengan $5$ .

$V = π (\frac{12 \cdot 3}{15} - \frac{4 \cdot 5}{15})$

Langkah 10.2.3.29

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$V = π (\frac{12 \cdot 3 - 4 \cdot 5}{15})$

Langkah 10.2.3.30

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.3.30.1

Kalikan $12$ dengan $3$ .

$V = π (\frac{36 - 4 \cdot 5}{15})$

Langkah 10.2.3.30.2

Kalikan $- 4$ dengan $5$ .

$V = π (\frac{36 - 20}{15})$

Langkah 10.2.3.30.3

Kurangi $20$ dengan $36$ .

$V = π (\frac{16}{15})$

Langkah 10.2.3.31

Gabungkan $π$ dan $\frac{16}{15}$ .

$V = \frac{π \cdot 16}{15}$

Langkah 10.2.3.32

Pindahkan $16$ ke sebelah kiri $π$ .

$V = \frac{16 π}{15}$

Langkah 11

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$V = \frac{16 π}{15}$

Bentuk Desimal:

$V = 3.35103216 \dots$

Langkah 12