Kalkulus Contoh

$y = x^{\frac{5}{4}}$ , $y = 3 x^{\frac{1}{4}}$

Langkah 1

Selesaikan dengan substitusi untuk mencari perpotongan antara kurva-kurvanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Eliminasi sisi yang sama dari setiap persamaan dan gabungkan.

$x^{\frac{5}{4}} = 3 x^{\frac{1}{4}}$

Langkah 1.2

Selesaikan $x^{\frac{5}{4}} = 3 x^{\frac{1}{4}}$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Hilangkan eksponen pecahan dengan mengalikan kedua eksponen tersebut dengan penyebut sekutu terkecil.

${(x^{\frac{5}{4}})}^{4} = {(3 x^{\frac{1}{4}})}^{4}$

Langkah 1.2.2

Kalikan eksponen dalam ${(x^{\frac{5}{4}})}^{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{5}{4} \cdot 4} = {(3 x^{\frac{1}{4}})}^{4}$

Langkah 1.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$x^{\frac{5}{4} \cdot 4} = {(3 x^{\frac{1}{4}})}^{4}$

Langkah 1.2.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$x^{5} = {(3 x^{\frac{1}{4}})}^{4}$

Langkah 1.2.3

Sederhanakan ${(3 x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $3 x^{\frac{1}{4}}$ .

$x^{5} = 3^{4} {(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$

Langkah 1.2.3.2

Naikkan $3$ menjadi pangkat $4$ .

$x^{5} = 81 {(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$

Langkah 1.2.3.3

Kalikan eksponen dalam ${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{5} = 81 x^{\frac{1}{4} \cdot 4}$

Langkah 1.2.3.3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$x^{5} = 81 x^{\frac{1}{4} \cdot 4}$

Langkah 1.2.3.3.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$x^{5} = 81 x^{1}$

Langkah 1.2.3.4

Sederhanakan.

$x^{5} = 81 x$

Langkah 1.2.4

Kurangkan $81 x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x^{5} - 81 x = 0$

Langkah 1.2.5

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.1

Faktorkan $x$ dari $x^{5} - 81 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.1.1

Faktorkan $x$ dari $x^{5}$ .

$x \cdot x^{4} - 81 x = 0$

Langkah 1.2.5.1.2

Faktorkan $x$ dari $- 81 x$ .

$x \cdot x^{4} + x \cdot - 81 = 0$

Langkah 1.2.5.1.3

Faktorkan $x$ dari $x \cdot x^{4} + x \cdot - 81$ .

$x (x^{4} - 81) = 0$

Langkah 1.2.5.2

Tulis kembali $x^{4}$ sebagai ${(x^{2})}^{2}$ .

$x ({(x^{2})}^{2} - 81) = 0$

Langkah 1.2.5.3

Tulis kembali $81$ sebagai $9^{2}$ .

$x ({(x^{2})}^{2} - 9^{2}) = 0$

Langkah 1.2.5.4

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = x^{2}$ dan $b = 9$ .

$x ((x^{2} + 9) (x^{2} - 9)) = 0$

Langkah 1.2.5.5

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.5.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.5.1.1

Tulis kembali $9$ sebagai $3^{2}$ .

$x ((x^{2} + 9) (x^{2} - 3^{2})) = 0$

Langkah 1.2.5.5.1.2

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.5.1.2.1

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = x$ dan $b = 3$ .

$x ((x^{2} + 9) ((x + 3) (x - 3))) = 0$

Langkah 1.2.5.5.1.2.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$x ((x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)) = 0$

Langkah 1.2.5.5.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$x (x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3) = 0$

Langkah 1.2.6

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x = 0$

$x^{2} + 9 = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0 + y = 3 x^{\frac{1}{4}}$

Langkah 1.2.7

Atur $x$ sama dengan $0$ .

$x = 0$

Langkah 1.2.8

Atur $x^{2} + 9$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.8.1

Atur $x^{2} + 9$ sama dengan $0$ .

$x^{2} + 9 = 0$

Langkah 1.2.8.2

Selesaikan $x^{2} + 9 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.8.2.1

Kurangkan $9$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x^{2} = - 9$

Langkah 1.2.8.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 9}$

Langkah 1.2.8.2.3

Sederhanakan $\pm \sqrt{- 9}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.8.2.3.1

Tulis kembali $- 9$ sebagai $- 1 (9)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (9)}$

Langkah 1.2.8.2.3.2

Tulis kembali $\sqrt{- 1 (9)}$ sebagai $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$

Langkah 1.2.8.2.3.3

Tulis kembali $\sqrt{- 1}$ sebagai $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{9}$

Langkah 1.2.8.2.3.4

Tulis kembali $9$ sebagai $3^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2}}$

Langkah 1.2.8.2.3.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$x = \pm i \cdot 3$

Langkah 1.2.8.2.3.6

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $i$ .

$x = \pm 3 i$

Langkah 1.2.8.2.4

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.8.2.4.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = 3 i$

Langkah 1.2.8.2.4.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - 3 i$

Langkah 1.2.8.2.4.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = 3 i, - 3 i$

Langkah 1.2.9

Atur $x + 3$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.9.1

Atur $x + 3$ sama dengan $0$ .

$x + 3 = 0$

Langkah 1.2.9.2

Kurangkan $3$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 3$

Langkah 1.2.10

Atur $x - 3$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.10.1

Atur $x - 3$ sama dengan $0$ .

$x - 3 = 0$

Langkah 1.2.10.2

Tambahkan $3$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 3$

Langkah 1.2.11

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $x (x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3) = 0$ benar.

$x = 0, 3 i, - 3 i, - 3, 3$

Langkah 1.3

Evaluasi $y$ ketika $x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Substitusikan $0$ untuk $x$ .

$y = 3 {(0)}^{\frac{1}{4}}$

Langkah 1.3.2

Substitusikan $0$ ke $x$ dalam $y = 3 {(0)}^{\frac{1}{4}}$ dan selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Hilangkan tanda kurung.

$y = 3 \cdot 0^{\frac{1}{4}}$

Langkah 1.3.2.2

Sederhanakan $3 \cdot 0^{\frac{1}{4}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.2.1

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.2.1.1

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{4}$ .

$y = 3 \cdot {(0^{4})}^{\frac{1}{4}}$

Langkah 1.3.2.2.1.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 3 \cdot 0^{4 (\frac{1}{4})}$

Langkah 1.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y = 3 \cdot 0^{4 (\frac{1}{4})}$

Langkah 1.3.2.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y = 3 \cdot 0^{1}$

Langkah 1.3.2.2.3

Evaluasi eksponennya.

$y = 3 \cdot 0$

Langkah 1.3.2.2.4

Kalikan $3$ dengan $0$ .

$y = 0$

Langkah 1.4

Evaluasi $y$ ketika $x = 3 i$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Substitusikan $3 i$ untuk $x$ .

$y = 3 {(3 i)}^{\frac{1}{4}}$

Langkah 1.4.2

Sederhanakan $3 {(3 i)}^{\frac{1}{4}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $3 i$ .

$y = 3 (3^{\frac{1}{4}} i^{\frac{1}{4}})$

Langkah 1.4.2.2

Kalikan $3$ dengan $3^{\frac{1}{4}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.2.1

Pindahkan $3^{\frac{1}{4}}$ .

$y = 3^{\frac{1}{4}} \cdot 3 i^{\frac{1}{4}}$

Langkah 1.4.2.2.2

Kalikan $3^{\frac{1}{4}}$ dengan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.2.2.1

Naikkan $3$ menjadi pangkat $1$ .

$y = 3^{\frac{1}{4}} \cdot 3^{1} i^{\frac{1}{4}}$

Langkah 1.4.2.2.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$y = 3^{\frac{1}{4} + 1} i^{\frac{1}{4}}$

Langkah 1.4.2.2.3

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$y = 3^{\frac{1}{4} + \frac{4}{4}} i^{\frac{1}{4}}$

Langkah 1.4.2.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = 3^{\frac{1 + 4}{4}} i^{\frac{1}{4}}$

Langkah 1.4.2.2.5

Tambahkan $1$ dan $4$ .

$y = 3^{\frac{5}{4}} i^{\frac{1}{4}}$

Langkah 1.5

Evaluasi $y$ ketika $x = - 3 i$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Substitusikan $- 3 i$ untuk $x$ .

$y = 3 {(- 3 i)}^{\frac{1}{4}}$

Langkah 1.5.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $- 3 i$ .

$y = 3 {(- 3)}^{\frac{1}{4}} i^{\frac{1}{4}}$

Langkah 1.6

Substitusikan $- 3$ untuk $x$ .

$y = 3 {(- 3)}^{\frac{1}{4}}$

Langkah 1.7

Evaluasi $y$ ketika $x = 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1

Substitusikan $3$ untuk $x$ .

$y = 3 {(3)}^{\frac{1}{4}}$

Langkah 1.7.2

Substitusikan $3$ ke $x$ dalam $y = 3 {(3)}^{\frac{1}{4}}$ dan selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.2.1

Hilangkan tanda kurung.

$y = 3 \cdot 3^{\frac{1}{4}}$

Langkah 1.7.2.2

Kalikan $3$ dengan $3^{\frac{1}{4}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.2.2.1

Kalikan $3$ dengan $3^{\frac{1}{4}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.2.2.1.1

Naikkan $3$ menjadi pangkat $1$ .

$y = 3^{1} \cdot 3^{\frac{1}{4}}$

Langkah 1.7.2.2.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$y = 3^{1 + \frac{1}{4}}$

Langkah 1.7.2.2.2

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$y = 3^{\frac{4}{4} + \frac{1}{4}}$

Langkah 1.7.2.2.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = 3^{\frac{4 + 1}{4}}$

Langkah 1.7.2.2.4

Tambahkan $4$ dan $1$ .

$y = 3^{\frac{5}{4}}$

Langkah 1.8

Sebutkan semua penyelesaiannya.

$y = 0, x = 0$

$y = 3^{\frac{5}{4}} i^{\frac{1}{4}}, x = 3 i$

$y = 3 {(- 3)}^{\frac{1}{4}} i^{\frac{1}{4}}, x = - 3 i$

$y = 3 {(- 3)}^{\frac{1}{4}}, x = - 3$

$y = 3^{\frac{5}{4}}, x = 3$

$y = 0, x = 0$

$y = 3^{\frac{5}{4}} i^{\frac{1}{4}}, x = 3 i$

$y = 3 {(- 3)}^{\frac{1}{4}} i^{\frac{1}{4}}, x = - 3 i$

$y = 3 {(- 3)}^{\frac{1}{4}}, x = - 3$

$y = 3^{\frac{5}{4}}, x = 3$

Langkah 2

Daerah di antara kurva yang diberikan tidak terbatas.

Daerah tak terbatas

Langkah 3