Kalkulus Contoh

Tentukan Maksimum dan Minimum Lokal f(x)=(x^2-1)^3
Langkah 1
Tentukan turunan pertama dari fungsi.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.1
Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa adalah di mana dan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.1.1
Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur sebagai .
Langkah 1.1.2
Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa adalah di mana .
Langkah 1.1.3
Ganti semua kemunculan dengan .
Langkah 1.2
Diferensialkan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.2.1
Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari terhadap (Variabel1) adalah .
Langkah 1.2.2
Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa adalah di mana .
Langkah 1.2.3
Karena konstan terhadap , turunan dari terhadap adalah .
Langkah 1.2.4
Sederhanakan pernyataannya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.2.4.1
Tambahkan dan .
Langkah 1.2.4.2
Kalikan dengan .
Langkah 1.2.4.3
Susun kembali faktor-faktor dari .
Langkah 2
Tentukan turunan kedua dari fungsi.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.1
Karena konstan terhadap , turunan dari terhadap adalah .
Langkah 2.2
Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa adalah di mana dan .
Langkah 2.3
Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa adalah di mana dan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.3.1
Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur sebagai .
Langkah 2.3.2
Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa adalah di mana .
Langkah 2.3.3
Ganti semua kemunculan dengan .
Langkah 2.4
Diferensialkan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.4.1
Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari terhadap (Variabel1) adalah .
Langkah 2.4.2
Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa adalah di mana .
Langkah 2.4.3
Karena konstan terhadap , turunan dari terhadap adalah .
Langkah 2.4.4
Sederhanakan pernyataannya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.4.4.1
Tambahkan dan .
Langkah 2.4.4.2
Kalikan dengan .
Langkah 2.5
Naikkan menjadi pangkat .
Langkah 2.6
Naikkan menjadi pangkat .
Langkah 2.7
Gunakan kaidah pangkat untuk menggabungkan pangkat.
Langkah 2.8
Tambahkan dan .
Langkah 2.9
Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa adalah di mana .
Langkah 2.10
Kalikan dengan .
Langkah 2.11
Sederhanakan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.11.1
Terapkan sifat distributif.
Langkah 2.11.2
Terapkan sifat distributif.
Langkah 2.11.3
Terapkan sifat distributif.
Langkah 2.11.4
Gabungkan suku-sukunya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.11.4.1
Kalikan dengan dengan menambahkan eksponennya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.11.4.1.1
Pindahkan .
Langkah 2.11.4.1.2
Gunakan kaidah pangkat untuk menggabungkan pangkat.
Langkah 2.11.4.1.3
Tambahkan dan .
Langkah 2.11.4.2
Pindahkan ke sebelah kiri .
Langkah 2.11.4.3
Kalikan dengan .
Langkah 2.11.4.4
Kalikan dengan .
Langkah 2.11.4.5
Pindahkan ke sebelah kiri .
Langkah 2.11.4.6
Kalikan dengan .
Langkah 2.11.5
Sederhanakan setiap suku.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.11.5.1
Tulis kembali sebagai .
Langkah 2.11.5.2
Perluas menggunakan Metode FOIL.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.11.5.2.1
Terapkan sifat distributif.
Langkah 2.11.5.2.2
Terapkan sifat distributif.
Langkah 2.11.5.2.3
Terapkan sifat distributif.
Langkah 2.11.5.3
Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.11.5.3.1
Sederhanakan setiap suku.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.11.5.3.1.1
Kalikan dengan dengan menambahkan eksponennya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.11.5.3.1.1.1
Gunakan kaidah pangkat untuk menggabungkan pangkat.
Langkah 2.11.5.3.1.1.2
Tambahkan dan .
Langkah 2.11.5.3.1.2
Pindahkan ke sebelah kiri .
Langkah 2.11.5.3.1.3
Tulis kembali sebagai .
Langkah 2.11.5.3.1.4
Tulis kembali sebagai .
Langkah 2.11.5.3.1.5
Kalikan dengan .
Langkah 2.11.5.3.2
Kurangi dengan .
Langkah 2.11.5.4
Terapkan sifat distributif.
Langkah 2.11.5.5
Sederhanakan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.11.5.5.1
Kalikan dengan .
Langkah 2.11.5.5.2
Kalikan dengan .
Langkah 2.11.6
Tambahkan dan .
Langkah 2.11.7
Kurangi dengan .
Langkah 3
Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan , lalu selesaikan.
Langkah 4
Tentukan turunan pertamanya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 4.1
Tentukan turunan pertamanya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 4.1.1
Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa adalah di mana dan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 4.1.1.1
Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur sebagai .
Langkah 4.1.1.2
Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa adalah di mana .
Langkah 4.1.1.3
Ganti semua kemunculan dengan .
Langkah 4.1.2
Diferensialkan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 4.1.2.1
Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari terhadap (Variabel1) adalah .
Langkah 4.1.2.2
Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa adalah di mana .
Langkah 4.1.2.3
Karena konstan terhadap , turunan dari terhadap adalah .
Langkah 4.1.2.4
Sederhanakan pernyataannya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 4.1.2.4.1
Tambahkan dan .
Langkah 4.1.2.4.2
Kalikan dengan .
Langkah 4.1.2.4.3
Susun kembali faktor-faktor dari .
Langkah 4.2
Turunan pertama dari terhadap adalah .
Langkah 5
Buat turunan pertamanya agar sama dengan dan selesaikan persamaan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 5.1
Buat turunan pertamanya agar sama dengan .
Langkah 5.2
Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan .
Langkah 5.3
Atur sama dengan .
Langkah 5.4
Atur agar sama dengan dan selesaikan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 5.4.1
Atur sama dengan .
Langkah 5.4.2
Selesaikan untuk .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 5.4.2.1
Faktorkan sisi kiri persamaannya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 5.4.2.1.1
Tulis kembali sebagai .
Langkah 5.4.2.1.2
Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, di mana dan .
Langkah 5.4.2.1.3
Terapkan kaidah hasil kali ke .
Langkah 5.4.2.2
Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan .
Langkah 5.4.2.3
Atur agar sama dengan dan selesaikan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 5.4.2.3.1
Atur sama dengan .
Langkah 5.4.2.3.2
Selesaikan untuk .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 5.4.2.3.2.1
Atur agar sama dengan .
Langkah 5.4.2.3.2.2
Kurangkan dari kedua sisi persamaan tersebut.
Langkah 5.4.2.4
Atur agar sama dengan dan selesaikan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 5.4.2.4.1
Atur sama dengan .
Langkah 5.4.2.4.2
Selesaikan untuk .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 5.4.2.4.2.1
Atur agar sama dengan .
Langkah 5.4.2.4.2.2
Tambahkan ke kedua sisi persamaan.
Langkah 5.4.2.5
Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat benar.
Langkah 5.5
Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat benar.
Langkah 6
Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 6.1
Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.
Langkah 7
Titik kritis untuk dievaluasi.
Langkah 8
Evaluasi turunan kedua pada . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.
Langkah 9
Evaluasi turunan keduanya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 9.1
Sederhanakan setiap suku.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 9.1.1
Menaikkan ke sebarang pangkat positif menghasilkan .
Langkah 9.1.2
Kalikan dengan .
Langkah 9.1.3
Menaikkan ke sebarang pangkat positif menghasilkan .
Langkah 9.1.4
Kalikan dengan .
Langkah 9.2
Sederhanakan dengan menambahkan bilangan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 9.2.1
Tambahkan dan .
Langkah 9.2.2
Tambahkan dan .
Langkah 10
adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.
adalah minimum lokal
Langkah 11
Tentukan nilai y ketika .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 11.1
Ganti variabel dengan pada pernyataan tersebut.
Langkah 11.2
Sederhanakan hasilnya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 11.2.1
Menaikkan ke sebarang pangkat positif menghasilkan .
Langkah 11.2.2
Kurangi dengan .
Langkah 11.2.3
Naikkan menjadi pangkat .
Langkah 11.2.4
Jawaban akhirnya adalah .
Langkah 12
Evaluasi turunan kedua pada . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.
Langkah 13
Evaluasi turunan keduanya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 13.1
Sederhanakan setiap suku.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 13.1.1
Naikkan menjadi pangkat .
Langkah 13.1.2
Kalikan dengan .
Langkah 13.1.3
Naikkan menjadi pangkat .
Langkah 13.1.4
Kalikan dengan .
Langkah 13.2
Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 13.2.1
Kurangi dengan .
Langkah 13.2.2
Tambahkan dan .
Langkah 14
Karena setidaknya ada satu titik di atau turunan kedua yang tidak terdefinisikan, lakukan uji turunan pertama.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 14.1
Bagi menjadi interval terpisah di sekitar nilai yang membuat turunan pertamanya atau tidak terdefinisi.
Langkah 14.2
Substitusikan bilangan apa pun, seperti , dari interval dalam turunan pertama untuk memeriksa apakah hasilnya negatif atau positif.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 14.2.1
Ganti variabel dengan pada pernyataan tersebut.
Langkah 14.2.2
Sederhanakan hasilnya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 14.2.2.1
Kalikan dengan .
Langkah 14.2.2.2
Naikkan menjadi pangkat .
Langkah 14.2.2.3
Kurangi dengan .
Langkah 14.2.2.4
Naikkan menjadi pangkat .
Langkah 14.2.2.5
Kalikan dengan .
Langkah 14.2.2.6
Jawaban akhirnya adalah .
Langkah 14.3
Substitusikan bilangan apa pun, seperti , dari interval dalam turunan pertama untuk memeriksa apakah hasilnya negatif atau positif.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 14.3.1
Ganti variabel dengan pada pernyataan tersebut.
Langkah 14.3.2
Sederhanakan hasilnya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 14.3.2.1
Kalikan dengan .
Langkah 14.3.2.2
Naikkan menjadi pangkat .
Langkah 14.3.2.3
Kurangi dengan .
Langkah 14.3.2.4
Naikkan menjadi pangkat .
Langkah 14.3.2.5
Kalikan dengan .
Langkah 14.3.2.6
Jawaban akhirnya adalah .
Langkah 14.4
Substitusikan bilangan apa pun, seperti , dari interval dalam turunan pertama untuk memeriksa apakah hasilnya negatif atau positif.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 14.4.1
Ganti variabel dengan pada pernyataan tersebut.
Langkah 14.4.2
Sederhanakan hasilnya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 14.4.2.1
Kalikan dengan .
Langkah 14.4.2.2
Naikkan menjadi pangkat .
Langkah 14.4.2.3
Kurangi dengan .
Langkah 14.4.2.4
Naikkan menjadi pangkat .
Langkah 14.4.2.5
Kalikan dengan .
Langkah 14.4.2.6
Jawaban akhirnya adalah .
Langkah 14.5
Substitusikan bilangan apa pun, seperti , dari interval dalam turunan pertama untuk memeriksa apakah hasilnya negatif atau positif.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 14.5.1
Ganti variabel dengan pada pernyataan tersebut.
Langkah 14.5.2
Sederhanakan hasilnya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 14.5.2.1
Kalikan dengan .
Langkah 14.5.2.2
Naikkan menjadi pangkat .
Langkah 14.5.2.3
Kurangi dengan .
Langkah 14.5.2.4
Naikkan menjadi pangkat .
Langkah 14.5.2.5
Kalikan dengan .
Langkah 14.5.2.6
Jawaban akhirnya adalah .
Langkah 14.6
Karena turunan pertamanya tidak mengubah tanda-tanda di sekitar , ini bukan merupakan maksimum atau minimum lokal.
Bukan maksimum atau minimum lokal
Langkah 14.7
Karena turunan pertamanya diubah tandanya dari negatif menjadi positif di sekitar , maka adalah minimum lokal.
adalah minimum lokal
Langkah 14.8
Karena turunan pertamanya tidak mengubah tanda-tanda di sekitar , ini bukan merupakan maksimum atau minimum lokal.
Bukan maksimum atau minimum lokal
Langkah 14.9
Ini adalah ekstrem lokal untuk .
adalah minimum lokal
adalah minimum lokal
Langkah 15