Kalkulus Contoh

Tentukan Maksimum dan Minimum Lokal f(x)=cos(pix)
Langkah 1
Tentukan turunan pertama dari fungsi.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.1
Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa adalah di mana dan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.1.1
Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur sebagai .
Langkah 1.1.2
Turunan dari terhadap adalah .
Langkah 1.1.3
Ganti semua kemunculan dengan .
Langkah 1.2
Diferensialkan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.2.1
Karena konstan terhadap , turunan dari terhadap adalah .
Langkah 1.2.2
Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa adalah di mana .
Langkah 1.2.3
Sederhanakan pernyataannya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.2.3.1
Kalikan dengan .
Langkah 1.2.3.2
Susun kembali faktor-faktor dari .
Langkah 2
Tentukan turunan kedua dari fungsi.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.1
Karena konstan terhadap , turunan dari terhadap adalah .
Langkah 2.2
Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa adalah di mana dan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.2.1
Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur sebagai .
Langkah 2.2.2
Turunan dari terhadap adalah .
Langkah 2.2.3
Ganti semua kemunculan dengan .
Langkah 2.3
Karena konstan terhadap , turunan dari terhadap adalah .
Langkah 2.4
Naikkan menjadi pangkat .
Langkah 2.5
Naikkan menjadi pangkat .
Langkah 2.6
Gunakan kaidah pangkat untuk menggabungkan pangkat.
Langkah 2.7
Tambahkan dan .
Langkah 2.8
Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa adalah di mana .
Langkah 2.9
Kalikan dengan .
Langkah 3
Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan , lalu selesaikan.
Langkah 4
Bagi setiap suku pada dengan dan sederhanakan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 4.1
Bagilah setiap suku di dengan .
Langkah 4.2
Sederhanakan sisi kirinya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 4.2.1
Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.
Langkah 4.2.2
Batalkan faktor persekutuan dari .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 4.2.2.1
Batalkan faktor persekutuan.
Langkah 4.2.2.2
Bagilah dengan .
Langkah 4.3
Sederhanakan sisi kanannya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 4.3.1
Bagilah dengan .
Langkah 5
Ambil sinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan dari dalam sinus.
Langkah 6
Sederhanakan sisi kanannya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 6.1
Nilai eksak dari adalah .
Langkah 7
Bagi setiap suku pada dengan dan sederhanakan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 7.1
Bagilah setiap suku di dengan .
Langkah 7.2
Sederhanakan sisi kirinya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 7.2.1
Batalkan faktor persekutuan dari .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 7.2.1.1
Batalkan faktor persekutuan.
Langkah 7.2.1.2
Bagilah dengan .
Langkah 7.3
Sederhanakan sisi kanannya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 7.3.1
Bagilah dengan .
Langkah 8
Fungsi sinus positif di kuadran pertama dan kedua. Untuk menemukan penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari untuk menemukan penyelesaian di kuadran kedua.
Langkah 9
Selesaikan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 9.1
Sederhanakan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 9.1.1
Kalikan dengan .
Langkah 9.1.2
Tambahkan dan .
Langkah 9.2
Bagi setiap suku pada dengan dan sederhanakan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 9.2.1
Bagilah setiap suku di dengan .
Langkah 9.2.2
Sederhanakan sisi kirinya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 9.2.2.1
Batalkan faktor persekutuan dari .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 9.2.2.1.1
Batalkan faktor persekutuan.
Langkah 9.2.2.1.2
Bagilah dengan .
Langkah 9.2.3
Sederhanakan sisi kanannya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 9.2.3.1
Batalkan faktor persekutuan dari .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 9.2.3.1.1
Batalkan faktor persekutuan.
Langkah 9.2.3.1.2
Tulis kembali pernyataannya.
Langkah 10
Penyelesaian untuk persamaan .
Langkah 11
Evaluasi turunan kedua pada . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.
Langkah 12
Evaluasi turunan keduanya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 12.1
Kalikan dengan .
Langkah 12.2
Nilai eksak dari adalah .
Langkah 12.3
Kalikan dengan .
Langkah 13
adalah maksimum lokal karena nilai dari turunan keduanya negatif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.
adalah maksimum lokal
Langkah 14
Tentukan nilai y ketika .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 14.1
Ganti variabel dengan pada pernyataan tersebut.
Langkah 14.2
Sederhanakan hasilnya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 14.2.1
Kalikan dengan .
Langkah 14.2.2
Nilai eksak dari adalah .
Langkah 14.2.3
Jawaban akhirnya adalah .
Langkah 15
Evaluasi turunan kedua pada . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.
Langkah 16
Evaluasi turunan keduanya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 16.1
Kalikan dengan .
Langkah 16.2
Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran kedua.
Langkah 16.3
Nilai eksak dari adalah .
Langkah 16.4
Kalikan dengan .
Langkah 16.5
Kalikan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 16.5.1
Kalikan dengan .
Langkah 16.5.2
Kalikan dengan .
Langkah 17
adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.
adalah minimum lokal
Langkah 18
Tentukan nilai y ketika .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 18.1
Ganti variabel dengan pada pernyataan tersebut.
Langkah 18.2
Sederhanakan hasilnya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 18.2.1
Kalikan dengan .
Langkah 18.2.2
Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran kedua.
Langkah 18.2.3
Nilai eksak dari adalah .
Langkah 18.2.4
Kalikan dengan .
Langkah 18.2.5
Jawaban akhirnya adalah .
Langkah 19
Ini adalah ekstrem lokal untuk .
adalah maksimum lokal
adalah minimum lokal
Langkah 20