Kalkulus Contoh

$f (x) = x + 2 \cos (x)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 2 \cos (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Langkah 1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 \cos (x)$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$1 + 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Langkah 1.2.2

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$1 + 2 (- \sin (x))$

Langkah 1.2.3

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$1 - 2 \sin (x)$

Langkah 2

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 - 2 \sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

Langkah 2.1.2

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 \sin (x)$ terhadap $x$ adalah $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = 0 - 2 \frac{d}{d x} \sin (x)$

Langkah 2.2.2

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$f'' (x) = 0 - 2 \cos (x)$

Langkah 2.3

Kurangi $2 \cos (x)$ dengan $0$ .

$f'' (x) = - 2 \cos (x)$

Langkah 3

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$1 - 2 \sin (x) = 0$

Langkah 4

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- 2 \sin (x) = - 1$

Langkah 5

Bagi setiap suku pada $- 2 \sin (x) = - 1$ dengan $- 2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Bagilah setiap suku di $- 2 \sin (x) = - 1$ dengan $- 2$ .

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Langkah 5.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Langkah 5.2.1.2

Bagilah $\sin (x)$ dengan $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 2}$

Langkah 5.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

Langkah 6

Ambil sinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam sinus.

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Langkah 7

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Nilai eksak dari $\arcsin (\frac{1}{2})$ adalah $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Langkah 8

Fungsi sinus positif di kuadran pertama dan kedua. Untuk menemukan penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $π$ untuk menemukan penyelesaian di kuadran kedua.

$x = π - \frac{π}{6}$

Langkah 9

Sederhanakan $π - \frac{π}{6}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Untuk menuliskan $π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Langkah 9.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Gabungkan $π$ dan $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Langkah 9.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Langkah 9.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1

Pindahkan $6$ ke sebelah kiri $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Langkah 9.3.2

Kurangi $π$ dengan $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Langkah 10

Penyelesaian untuk persamaan $x = \frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}$

Langkah 11

Evaluasi turunan kedua pada $x = \frac{π}{6}$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$- 2 \cos (\frac{π}{6})$

Langkah 12

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{6})$ adalah $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Langkah 12.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{\sqrt{3}}{2}$

Langkah 12.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \cdot - 1 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Langkah 12.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- 1 \sqrt{3}$

Langkah 12.3

Tulis kembali $- 1 \sqrt{3}$ sebagai $- \sqrt{3}$ .

$- \sqrt{3}$

Langkah 13

$x = \frac{π}{6}$ adalah maksimum lokal karena nilai dari turunan keduanya negatif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = \frac{π}{6}$ adalah maksimum lokal

Langkah 14

Tentukan nilai y ketika $x = \frac{π}{6}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{π}{6}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\frac{π}{6}) = (\frac{π}{6}) + 2 \cos (\frac{π}{6})$

Langkah 14.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.1.1

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{6})$ adalah $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{π}{6} + 2 (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Langkah 14.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{π}{6} + 2 (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Langkah 14.2.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{π}{6} + \sqrt{3}$

Langkah 14.2.2

Jawaban akhirnya adalah $\frac{π}{6} + \sqrt{3}$ .

$y = \frac{π}{6} + \sqrt{3}$

Langkah 15

Evaluasi turunan kedua pada $x = \frac{5 π}{6}$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$- 2 \cos (\frac{5 π}{6})$

Langkah 16

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran kedua.

$- 2 (- \cos (\frac{π}{6}))$

Langkah 16.2

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{6})$ adalah $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Langkah 16.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.3.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ ke dalam pembilangnya.

$- 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Langkah 16.3.2

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Langkah 16.3.3

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \cdot - 1 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Langkah 16.3.4

Tulis kembali pernyataannya.

$- 1 (- \sqrt{3})$

Langkah 16.4

Kalikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.4.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$1 \sqrt{3}$

Langkah 16.4.2

Kalikan $\sqrt{3}$ dengan $1$ .

$\sqrt{3}$

Langkah 17

$x = \frac{5 π}{6}$ adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = \frac{5 π}{6}$ adalah minimum lokal

Langkah 18

Tentukan nilai y ketika $x = \frac{5 π}{6}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{5 π}{6}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\frac{5 π}{6}) = (\frac{5 π}{6}) + 2 \cos (\frac{5 π}{6})$

Langkah 18.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.2.1.1

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran kedua.

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{5 π}{6} + 2 (- \cos (\frac{π}{6}))$

Langkah 18.2.1.2

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{6})$ adalah $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{5 π}{6} + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Langkah 18.2.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.2.1.3.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ ke dalam pembilangnya.

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{5 π}{6} + 2 (\frac{- \sqrt{3}}{2})$

Langkah 18.2.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{5 π}{6} + 2 (\frac{- \sqrt{3}}{2})$

Langkah 18.2.1.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{5 π}{6} - \sqrt{3}$

Langkah 18.2.2

Jawaban akhirnya adalah $\frac{5 π}{6} - \sqrt{3}$ .

$y = \frac{5 π}{6} - \sqrt{3}$

Langkah 19

Ini adalah ekstrem lokal untuk $f (x) = x + 2 \cos (x)$ .

$(\frac{π}{6}, \frac{π}{6} + \sqrt{3})$ adalah maksimum lokal

$(\frac{5 π}{6}, \frac{5 π}{6} - \sqrt{3})$ adalah minimum lokal

Langkah 20