Kalkulus Contoh

$y = \frac{x^{2} - 5}{x - 3}$

Langkah 1

Tulis $y = \frac{x^{2} - 5}{x - 3}$ sebagai fungsi.

$f (x) = \frac{x^{2} - 5}{x - 3}$

Langkah 2

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = x^{2} - 5$ dan $g (x) = x - 3$ .

$\frac{(x - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5] - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Langkah 2.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} - 5$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{(x - 3) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]) - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{(x - 3) (2 x + \frac{d}{d x} [- 5]) - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Langkah 2.2.3

Karena $- 5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 5$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{(x - 3) (2 x + 0) - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Langkah 2.2.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.4.1

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$\frac{(x - 3) (2 x) - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Langkah 2.2.4.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x - 3$ .

$\frac{2 \cdot (x - 3) x - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Langkah 2.2.5

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 3$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{2 (x - 3) x - (x^{2} - 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

Langkah 2.2.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{2 (x - 3) x - (x^{2} - 5) (1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

Langkah 2.2.7

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 3$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{2 (x - 3) x - (x^{2} - 5) (1 + 0)}{{(x - 3)}^{2}}$

Langkah 2.2.8

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.8.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$\frac{2 (x - 3) x - (x^{2} - 5) \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

Langkah 2.2.8.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{2 (x - 3) x - (x^{2} - 5)}{{(x - 3)}^{2}}$

Langkah 2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{(2 x + 2 \cdot - 3) x - (x^{2} - 5)}{{(x - 3)}^{2}}$

Langkah 2.3.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 3 x - (x^{2} - 5)}{{(x - 3)}^{2}}$

Langkah 2.3.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 3 x - x^{2} - - 5}{{(x - 3)}^{2}}$

Langkah 2.3.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.4.1.1

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.4.1.1.1

Pindahkan $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot - 3 x - x^{2} - - 5}{{(x - 3)}^{2}}$

Langkah 2.3.4.1.1.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot - 3 x - x^{2} - - 5}{{(x - 3)}^{2}}$

Langkah 2.3.4.1.2

Kalikan $2$ dengan $- 3$ .

$\frac{2 x^{2} - 6 x - x^{2} - - 5}{{(x - 3)}^{2}}$

Langkah 2.3.4.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $- 5$ .

$\frac{2 x^{2} - 6 x - x^{2} + 5}{{(x - 3)}^{2}}$

Langkah 2.3.4.2

Kurangi $x^{2}$ dengan $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 6 x + 5}{{(x - 3)}^{2}}$

Langkah 2.3.5

Faktorkan $x^{2} - 6 x + 5$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.1

Mempertimbangkan bentuk $x^{2} + b x + c$ . Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya $b$ . Dalam hal ini, hasil kalinya $5$ dan jumlahnya $- 6$ .

$- 5, - 1$

Langkah 2.3.5.2

Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.

$\frac{(x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{2}}$

Langkah 3

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} ((x - 5) (x - 1)) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Langkah 3.2

Kalikan eksponen dalam ${({(x - 3)}^{2})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} ((x - 5) (x - 1)) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{2 \cdot 2}}$

Langkah 3.2.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} ((x - 5) (x - 1)) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

Langkah 3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x - 5$ dan $g (x) = x - 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} ((x - 5) \frac{d}{d x} (x - 1) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x - 5)) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

Langkah 3.4

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} ((x - 5) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x - 5)) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

Langkah 3.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} ((x - 5) (1 + \frac{d}{d x} (- 1)) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x - 5)) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

Langkah 3.4.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} ((x - 5) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x - 5)) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

Langkah 3.4.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.4.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} ((x - 5) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} (x - 5)) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

Langkah 3.4.4.2

Kalikan $x - 5$ dengan $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} (x - 5 + (x - 1) \frac{d}{d x} (x - 5)) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

Langkah 3.4.5

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 5$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} (x - 5 + (x - 1) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5))) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

Langkah 3.4.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} (x - 5 + (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} (- 5))) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

Langkah 3.4.7

Karena $- 5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 5$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} (x - 5 + (x - 1) (1 + 0)) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

Langkah 3.4.8

Sederhanakan dengan menambahkan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.8.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} (x - 5 + (x - 1) \cdot 1) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

Langkah 3.4.8.2

Kalikan $x - 1$ dengan $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} (x - 5 + x - 1) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

Langkah 3.4.8.3

Tambahkan $x$ dan $x$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} (2 x - 5 - 1) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

Langkah 3.4.8.4

Kurangi $1$ dengan $- 5$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} (2 x - 6) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

Langkah 3.5

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = x - 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x - 3$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} (2 x - 6) - (x - 5) (x - 1) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x - 3))}{{(x - 3)}^{4}}$

Langkah 3.5.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} (2 x - 6) - (x - 5) (x - 1) (2 u \frac{d}{d x} (x - 3))}{{(x - 3)}^{4}}$

Langkah 3.5.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x - 3$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} (2 x - 6) - (x - 5) (x - 1) (2 (x - 3) \frac{d}{d x} (x - 3))}{{(x - 3)}^{4}}$

Langkah 3.6

Sederhanakan dengan memfaktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} (2 x - 6) - 2 (x - 5) (x - 1) ((x - 3) \frac{d}{d x} (x - 3))}{{(x - 3)}^{4}}$

Langkah 3.6.2

Faktorkan $x - 3$ dari ${(x - 3)}^{2} (2 x - 6) - 2 (x - 5) (x - 1) ((x - 3) \frac{d}{d x} [x - 3])$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.2.1

Faktorkan $x - 3$ dari ${(x - 3)}^{2} (2 x - 6)$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 3) ((x - 3) (2 x - 6)) - 2 (x - 5) (x - 1) ((x - 3) \frac{d}{d x} (x - 3))}{{(x - 3)}^{4}}$

Langkah 3.6.2.2

Faktorkan $x - 3$ dari $- 2 (x - 5) (x - 1) ((x - 3) \frac{d}{d x} [x - 3])$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 3) ((x - 3) (2 x - 6)) + (x - 3) (- 2 (x - 5) (x - 1) (\frac{d}{d x} (x - 3)))}{{(x - 3)}^{4}}$

Langkah 3.6.2.3

Faktorkan $x - 3$ dari $(x - 3) ((x - 3) (2 x - 6)) + (x - 3) (- 2 (x - 5) (x - 1) (\frac{d}{d x} [x - 3]))$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 3) ((x - 3) (2 x - 6) - 2 (x - 5) (x - 1) (\frac{d}{d x} (x - 3)))}{{(x - 3)}^{4}}$

Langkah 3.7

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1

Faktorkan $x - 3$ dari ${(x - 3)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 3) ((x - 3) (2 x - 6) - 2 (x - 5) (x - 1) (\frac{d}{d x} (x - 3)))}{(x - 3) {(x - 3)}^{3}}$

Langkah 3.7.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f'' (x) = \frac{(x - 3) ((x - 3) (2 x - 6) - 2 (x - 5) (x - 1) (\frac{d}{d x} (x - 3)))}{(x - 3) {(x - 3)}^{3}}$

Langkah 3.7.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f'' (x) = \frac{(x - 3) (2 x - 6) - 2 (x - 5) (x - 1) (\frac{d}{d x} (x - 3))}{{(x - 3)}^{3}}$

Langkah 3.8

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 3$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 3) (2 x - 6) - 2 (x - 5) (x - 1) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3))}{{(x - 3)}^{3}}$

Langkah 3.9

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 3) (2 x - 6) - 2 (x - 5) (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} (- 3))}{{(x - 3)}^{3}}$

Langkah 3.10

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 3$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 3) (2 x - 6) - 2 (x - 5) (x - 1) (1 + 0)}{{(x - 3)}^{3}}$

Langkah 3.11

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.11.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 3) (2 x - 6) - 2 (x - 5) (x - 1) \cdot 1}{{(x - 3)}^{3}}$

Langkah 3.11.2

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 3) (2 x - 6) - 2 (x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

Langkah 3.12

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.12.1

Terapkan sifat distributif.

$f'' (x) = \frac{(x - 3) (2 x - 6) + (- 2 x - 2 \cdot - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

Langkah 3.12.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.12.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.12.2.1.1

Perluas $(x - 3) (2 x - 6)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.12.2.1.1.1

Terapkan sifat distributif.

$f'' (x) = \frac{x (2 x - 6) - 3 (2 x - 6) + (- 2 x - 2 \cdot - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

Langkah 3.12.2.1.1.2

Terapkan sifat distributif.

$f'' (x) = \frac{x (2 x) + x \cdot - 6 - 3 (2 x - 6) + (- 2 x - 2 \cdot - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

Langkah 3.12.2.1.1.3

Terapkan sifat distributif.

$f'' (x) = \frac{x (2 x) + x \cdot - 6 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 6 + (- 2 x - 2 \cdot - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

Langkah 3.12.2.1.2

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.12.2.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.12.2.1.2.1.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$f'' (x) = \frac{2 x \cdot x + x \cdot - 6 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 6 + (- 2 x - 2 \cdot - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

Langkah 3.12.2.1.2.1.2

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.12.2.1.2.1.2.1

Pindahkan $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x \cdot x) + x \cdot - 6 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 6 + (- 2 x - 2 \cdot - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

Langkah 3.12.2.1.2.1.2.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} + x \cdot - 6 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 6 + (- 2 x - 2 \cdot - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

Langkah 3.12.2.1.2.1.3

Pindahkan $- 6$ ke sebelah kiri $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 6 \cdot x - 3 (2 x) - 3 \cdot - 6 + (- 2 x - 2 \cdot - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

Langkah 3.12.2.1.2.1.4

Kalikan $2$ dengan $- 3$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 6 x - 6 x - 3 \cdot - 6 + (- 2 x - 2 \cdot - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

Langkah 3.12.2.1.2.1.5

Kalikan $- 3$ dengan $- 6$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 6 x - 6 x + 18 + (- 2 x - 2 \cdot - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

Langkah 3.12.2.1.2.2

Kurangi $6 x$ dengan $- 6 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 12 x + 18 + (- 2 x - 2 \cdot - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

Langkah 3.12.2.1.3

Kalikan $- 2$ dengan $- 5$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 12 x + 18 + (- 2 x + 10) (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

Langkah 3.12.2.1.4

Perluas $(- 2 x + 10) (x - 1)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.12.2.1.4.1

Terapkan sifat distributif.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 12 x + 18 - 2 x (x - 1) + 10 (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

Langkah 3.12.2.1.4.2

Terapkan sifat distributif.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 12 x + 18 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1 + 10 (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

Langkah 3.12.2.1.4.3

Terapkan sifat distributif.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 12 x + 18 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1 + 10 x + 10 \cdot - 1}{{(x - 3)}^{3}}$

Langkah 3.12.2.1.5

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.12.2.1.5.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.12.2.1.5.1.1

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.12.2.1.5.1.1.1

Pindahkan $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 12 x + 18 - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 1 + 10 x + 10 \cdot - 1}{{(x - 3)}^{3}}$

Langkah 3.12.2.1.5.1.1.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 12 x + 18 - 2 x^{2} - 2 x \cdot - 1 + 10 x + 10 \cdot - 1}{{(x - 3)}^{3}}$

Langkah 3.12.2.1.5.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 12 x + 18 - 2 x^{2} + 2 x + 10 x + 10 \cdot - 1}{{(x - 3)}^{3}}$

Langkah 3.12.2.1.5.1.3

Kalikan $10$ dengan $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 12 x + 18 - 2 x^{2} + 2 x + 10 x - 10}{{(x - 3)}^{3}}$

Langkah 3.12.2.1.5.2

Tambahkan $2 x$ dan $10 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 12 x + 18 - 2 x^{2} + 12 x - 10}{{(x - 3)}^{3}}$

Langkah 3.12.2.2

Gabungkan suku balikan dalam $2 x^{2} - 12 x + 18 - 2 x^{2} + 12 x - 10$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.12.2.2.1

Kurangi $2 x^{2}$ dengan $2 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 12 x + 18 + 0 + 12 x - 10}{{(x - 3)}^{3}}$

Langkah 3.12.2.2.2

Tambahkan $- 12 x + 18$ dan $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 12 x + 18 + 12 x - 10}{{(x - 3)}^{3}}$

Langkah 3.12.2.2.3

Tambahkan $- 12 x$ dan $12 x$ .

$f'' (x) = \frac{0 + 18 - 10}{{(x - 3)}^{3}}$

Langkah 3.12.2.2.4

Tambahkan $0$ dan $18$ .

$f'' (x) = \frac{18 - 10}{{(x - 3)}^{3}}$

Langkah 3.12.2.3

Kurangi $10$ dengan $18$ .

$f'' (x) = \frac{8}{{(x - 3)}^{3}}$

Langkah 4

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$\frac{(x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{2}} = 0$

Langkah 5

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

$f' (x) = \frac{(x - 3) \frac{d}{d x} (x^{2} - 5) - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Langkah 5.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} - 5$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$f' (x) = \frac{(x - 3) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 5)) - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Langkah 5.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x - 3) (2 x + \frac{d}{d x} (- 5)) - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Langkah 5.1.2.3

Karena $- 5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 5$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f' (x) = \frac{(x - 3) (2 x + 0) - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Langkah 5.1.2.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.2.4.1

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$f' (x) = \frac{(x - 3) (2 x) - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Langkah 5.1.2.4.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x - 3$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((x - 3) x) - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Langkah 5.1.2.5

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 3$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) x - (x^{2} - 5) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3))}{{(x - 3)}^{2}}$

Langkah 5.1.2.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) x - (x^{2} - 5) (1 + \frac{d}{d x} (- 3))}{{(x - 3)}^{2}}$

Langkah 5.1.2.7

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 3$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) x - (x^{2} - 5) (1 + 0)}{{(x - 3)}^{2}}$

Langkah 5.1.2.8

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.2.8.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) x - (x^{2} - 5) \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

Langkah 5.1.2.8.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) x - (x^{2} - 5)}{{(x - 3)}^{2}}$

Langkah 5.1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.3.1

Terapkan sifat distributif.

$f' (x) = \frac{(2 x + 2 \cdot - 3) x - (x^{2} - 5)}{{(x - 3)}^{2}}$

Langkah 5.1.3.2

Terapkan sifat distributif.

$f' (x) = \frac{2 x \cdot x + 2 \cdot (- 3 x) - (x^{2} - 5)}{{(x - 3)}^{2}}$

Langkah 5.1.3.3

Terapkan sifat distributif.

$f' (x) = \frac{2 x \cdot x + 2 \cdot (- 3 x) - x^{2} + 5}{{(x - 3)}^{2}}$

Langkah 5.1.3.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.3.4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.3.4.1.1

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.3.4.1.1.1

Pindahkan $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot (- 3 x) - x^{2} + 5}{{(x - 3)}^{2}}$

Langkah 5.1.3.4.1.1.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} + 2 \cdot (- 3 x) - x^{2} + 5}{{(x - 3)}^{2}}$

Langkah 5.1.3.4.1.2

Kalikan $2$ dengan $- 3$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 6 x - x^{2} + 5}{{(x - 3)}^{2}}$

Langkah 5.1.3.4.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $- 5$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 6 x - x^{2} + 5}{{(x - 3)}^{2}}$

Langkah 5.1.3.4.2

Kurangi $x^{2}$ dengan $2 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 6 x + 5}{{(x - 3)}^{2}}$

Langkah 5.1.3.5

Faktorkan $x^{2} - 6 x + 5$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.3.5.1

Mempertimbangkan bentuk $x^{2} + b x + c$ . Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya $b$ . Dalam hal ini, hasil kalinya $5$ dan jumlahnya $- 6$ .

$- 5, - 1$

Langkah 5.1.3.5.2

Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.

$f' (x) = \frac{(x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{2}}$

Langkah 5.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{(x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{2}}$ .

$\frac{(x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{2}}$

Langkah 6

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $\frac{(x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{2}} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$\frac{(x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{2}} = 0$

Langkah 6.2

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$(x - 5) (x - 1) = 0$

Langkah 6.3

Selesaikan persamaan untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x - 5 = 0$

$x - 1 = 0$

Langkah 6.3.2

Atur $x - 5$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1

Atur $x - 5$ sama dengan $0$ .

$x - 5 = 0$

Langkah 6.3.2.2

Tambahkan $5$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 5$

Langkah 6.3.3

Atur $x - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.3.1

Atur $x - 1$ sama dengan $0$ .

$x - 1 = 0$

Langkah 6.3.3.2

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 1$

Langkah 6.3.4

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(x - 5) (x - 1) = 0$ benar.

$x = 5, 1$

Langkah 7

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Atur penyebut dalam $\frac{(x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{2}}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

${(x - 3)}^{2} = 0$

Langkah 7.2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Atur $x - 3$ agar sama dengan $0$ .

$x - 3 = 0$

Langkah 7.2.2

Tambahkan $3$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 3$

Langkah 8

Titik kritis untuk dievaluasi.

$x = 5, 1$

Langkah 9

Evaluasi turunan kedua pada $x = 5$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$\frac{8}{{((5) - 3)}^{3}}$

Langkah 10

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.1

Kurangi $3$ dengan $5$ .

$\frac{8}{2^{3}}$

Langkah 10.1.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $3$ .

$\frac{8}{8}$

Langkah 10.2

Bagilah $8$ dengan $8$ .

$1$

Langkah 11

$x = 5$ adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = 5$ adalah minimum lokal

Langkah 12

Tentukan nilai y ketika $x = 5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Ganti variabel $x$ dengan $5$ pada pernyataan tersebut.

$f (5) = \frac{{(5)}^{2} - 5}{(5) - 3}$

Langkah 12.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1.1

Naikkan $5$ menjadi pangkat $2$ .

$f (5) = \frac{25 - 5}{5 - 3}$

Langkah 12.2.1.2

Kurangi $5$ dengan $25$ .

$f (5) = \frac{20}{5 - 3}$

Langkah 12.2.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.2.1

Kurangi $3$ dengan $5$ .

$f (5) = \frac{20}{2}$

Langkah 12.2.2.2

Bagilah $20$ dengan $2$ .

$f (5) = 10$

Langkah 12.2.3

Jawaban akhirnya adalah $10$ .

$y = 10$

Langkah 13

Evaluasi turunan kedua pada $x = 1$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$\frac{8}{{((1) - 3)}^{3}}$

Langkah 14

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1.1

Kurangi $3$ dengan $1$ .

$\frac{8}{{(- 2)}^{3}}$

Langkah 14.1.2

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $3$ .

$\frac{8}{- 8}$

Langkah 14.2

Bagilah $8$ dengan $- 8$ .

$- 1$

Langkah 15

$x = 1$ adalah maksimum lokal karena nilai dari turunan keduanya negatif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = 1$ adalah maksimum lokal

Langkah 16

Tentukan nilai y ketika $x = 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1

Ganti variabel $x$ dengan $1$ pada pernyataan tersebut.

$f (1) = \frac{{(1)}^{2} - 5}{(1) - 3}$

Langkah 16.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.2.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.2.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f (1) = \frac{1 - 5}{1 - 3}$

Langkah 16.2.1.2

Kurangi $5$ dengan $1$ .

$f (1) = \frac{- 4}{1 - 3}$

Langkah 16.2.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.2.2.1

Kurangi $3$ dengan $1$ .

$f (1) = \frac{- 4}{- 2}$

Langkah 16.2.2.2

Bagilah $- 4$ dengan $- 2$ .

$f (1) = 2$

Langkah 16.2.3

Jawaban akhirnya adalah $2$ .

$y = 2$

Langkah 17

Ini adalah ekstrem lokal untuk $f (x) = \frac{x^{2} - 5}{x - 3}$ .

$(5, 10)$ adalah minimum lokal

$(1, 2)$ adalah maksimum lokal

Langkah 18