Kalkulus Contoh

Tentukan Maksimum dan Minimum Lokal y=x^4-2x^2
Langkah 1
Tulis sebagai fungsi.
Langkah 2
Tentukan turunan pertama dari fungsi.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.1
Diferensialkan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.1.1
Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari terhadap (Variabel1) adalah .
Langkah 2.1.2
Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa adalah di mana .
Langkah 2.2
Evaluasi .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.2.1
Karena konstan terhadap , turunan dari terhadap adalah .
Langkah 2.2.2
Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa adalah di mana .
Langkah 2.2.3
Kalikan dengan .
Langkah 3
Tentukan turunan kedua dari fungsi.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 3.1
Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari terhadap (Variabel1) adalah .
Langkah 3.2
Evaluasi .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 3.2.1
Karena konstan terhadap , turunan dari terhadap adalah .
Langkah 3.2.2
Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa adalah di mana .
Langkah 3.2.3
Kalikan dengan .
Langkah 3.3
Evaluasi .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 3.3.1
Karena konstan terhadap , turunan dari terhadap adalah .
Langkah 3.3.2
Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa adalah di mana .
Langkah 3.3.3
Kalikan dengan .
Langkah 4
Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan , lalu selesaikan.
Langkah 5
Tentukan turunan pertamanya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 5.1
Tentukan turunan pertamanya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 5.1.1
Diferensialkan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 5.1.1.1
Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari terhadap (Variabel1) adalah .
Langkah 5.1.1.2
Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa adalah di mana .
Langkah 5.1.2
Evaluasi .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 5.1.2.1
Karena konstan terhadap , turunan dari terhadap adalah .
Langkah 5.1.2.2
Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa adalah di mana .
Langkah 5.1.2.3
Kalikan dengan .
Langkah 5.2
Turunan pertama dari terhadap adalah .
Langkah 6
Buat turunan pertamanya agar sama dengan dan selesaikan persamaan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 6.1
Buat turunan pertamanya agar sama dengan .
Langkah 6.2
Faktorkan sisi kiri persamaannya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 6.2.1
Faktorkan dari .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 6.2.1.1
Faktorkan dari .
Langkah 6.2.1.2
Faktorkan dari .
Langkah 6.2.1.3
Faktorkan dari .
Langkah 6.2.2
Tulis kembali sebagai .
Langkah 6.2.3
Faktorkan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 6.2.3.1
Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, di mana dan .
Langkah 6.2.3.2
Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.
Langkah 6.3
Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan .
Langkah 6.4
Atur sama dengan .
Langkah 6.5
Atur agar sama dengan dan selesaikan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 6.5.1
Atur sama dengan .
Langkah 6.5.2
Kurangkan dari kedua sisi persamaan tersebut.
Langkah 6.6
Atur agar sama dengan dan selesaikan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 6.6.1
Atur sama dengan .
Langkah 6.6.2
Tambahkan ke kedua sisi persamaan.
Langkah 6.7
Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat benar.
Langkah 7
Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 7.1
Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.
Langkah 8
Titik kritis untuk dievaluasi.
Langkah 9
Evaluasi turunan kedua pada . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.
Langkah 10
Evaluasi turunan keduanya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 10.1
Sederhanakan setiap suku.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 10.1.1
Menaikkan ke sebarang pangkat positif menghasilkan .
Langkah 10.1.2
Kalikan dengan .
Langkah 10.2
Kurangi dengan .
Langkah 11
adalah maksimum lokal karena nilai dari turunan keduanya negatif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.
adalah maksimum lokal
Langkah 12
Tentukan nilai y ketika .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 12.1
Ganti variabel dengan pada pernyataan tersebut.
Langkah 12.2
Sederhanakan hasilnya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 12.2.1
Sederhanakan setiap suku.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 12.2.1.1
Menaikkan ke sebarang pangkat positif menghasilkan .
Langkah 12.2.1.2
Menaikkan ke sebarang pangkat positif menghasilkan .
Langkah 12.2.1.3
Kalikan dengan .
Langkah 12.2.2
Tambahkan dan .
Langkah 12.2.3
Jawaban akhirnya adalah .
Langkah 13
Evaluasi turunan kedua pada . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.
Langkah 14
Evaluasi turunan keduanya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 14.1
Sederhanakan setiap suku.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 14.1.1
Naikkan menjadi pangkat .
Langkah 14.1.2
Kalikan dengan .
Langkah 14.2
Kurangi dengan .
Langkah 15
adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.
adalah minimum lokal
Langkah 16
Tentukan nilai y ketika .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 16.1
Ganti variabel dengan pada pernyataan tersebut.
Langkah 16.2
Sederhanakan hasilnya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 16.2.1
Sederhanakan setiap suku.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 16.2.1.1
Naikkan menjadi pangkat .
Langkah 16.2.1.2
Naikkan menjadi pangkat .
Langkah 16.2.1.3
Kalikan dengan .
Langkah 16.2.2
Kurangi dengan .
Langkah 16.2.3
Jawaban akhirnya adalah .
Langkah 17
Evaluasi turunan kedua pada . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.
Langkah 18
Evaluasi turunan keduanya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 18.1
Sederhanakan setiap suku.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 18.1.1
Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.
Langkah 18.1.2
Kalikan dengan .
Langkah 18.2
Kurangi dengan .
Langkah 19
adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.
adalah minimum lokal
Langkah 20
Tentukan nilai y ketika .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 20.1
Ganti variabel dengan pada pernyataan tersebut.
Langkah 20.2
Sederhanakan hasilnya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 20.2.1
Sederhanakan setiap suku.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 20.2.1.1
Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.
Langkah 20.2.1.2
Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.
Langkah 20.2.1.3
Kalikan dengan .
Langkah 20.2.2
Kurangi dengan .
Langkah 20.2.3
Jawaban akhirnya adalah .
Langkah 21
Ini adalah ekstrem lokal untuk .
adalah maksimum lokal
adalah minimum lokal
adalah minimum lokal
Langkah 22