Kalkulus Contoh

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 + x} - \frac{1}{2}}{x}$

Langkah 1

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Untuk menuliskan $\frac{1}{2 + x}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 + x} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}{x}$

Langkah 1.2

Untuk menuliskan $- \frac{1}{2}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2 + x}{2 + x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 + x} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2 + x}{2 + x}}{x}$

Langkah 1.3

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $(2 + x) \cdot 2$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Kalikan $\frac{1}{2 + x}$ dengan $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{(2 + x) \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2 + x}{2 + x}}{x}$

Langkah 1.3.2

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{2 + x}{2 + x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{(2 + x) \cdot 2} - \frac{2 + x}{2 (2 + x)}}{x}$

Langkah 1.3.3

Susun kembali faktor-faktor dari $(2 + x) \cdot 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{2 (2 + x)} - \frac{2 + x}{2 (2 + x)}}{x}$

Langkah 1.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 - (2 + x)}{2 (2 + x)}}{x}$

Langkah 2

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Sederhanakan penjelasan limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$lim_{x \to 0} \frac{2 - (2 + x)}{2 (2 + x)} \cdot \frac{1}{x}$

Langkah 2.1.2

Kalikan $\frac{2 - (2 + x)}{2 (2 + x)}$ dengan $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 - (2 + x)}{2 (2 + x) x}$

Langkah 2.2

Pindahkan suku $\frac{1}{2}$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 - (2 + x)}{(2 + x) x}$

Langkah 3

Terapkan aturan L'Hospital.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 2 - (2 + x)}{lim_{x \to 0} (2 + x) x}$

Langkah 3.1.2

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $0$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 - (2 + 0)}{lim_{x \to 0} (2 + x) x}$

Langkah 3.1.2.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.2.1

Tambahkan $2$ dan $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 0} (2 + x) x}$

Langkah 3.1.2.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 - 2}{lim_{x \to 0} (2 + x) x}$

Langkah 3.1.2.3

Kurangi $2$ dengan $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} (2 + x) x}$

Langkah 3.1.3

Evaluasi limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Kali Limit pada limit ketika $x$ mendekati $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} 2 + x \cdot lim_{x \to 0} x}$

Langkah 3.1.3.2

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{(lim_{x \to 0} 2 + lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} x}$

Langkah 3.1.3.3

Evaluasi limit dari $2$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{(2 + lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} x}$

Langkah 3.1.3.4

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $0$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.4.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{(2 + 0) \cdot lim_{x \to 0} x}$

Langkah 3.1.3.4.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{(2 + 0) \cdot 0}$

Langkah 3.1.3.5

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.5.1

Tambahkan $2$ dan $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{2 \cdot 0}$

Langkah 3.1.3.5.2

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Langkah 3.1.3.5.3

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Langkah 3.1.3.6

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Langkah 3.1.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Langkah 3.2

Karena $\frac{0}{0}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to 0} \frac{2 - (2 + x)}{(2 + x) x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 - (2 + x)]}{\frac{d}{d x} [(2 + x) x]}$

Langkah 3.3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 - (2 + x)]}{\frac{d}{d x} [(2 + x) x]}$

Langkah 3.3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 - (2 + x)$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- (2 + x)]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- (2 + x)]}{\frac{d}{d x} [(2 + x) x]}$

Langkah 3.3.3

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- (2 + x)]}{\frac{d}{d x} [(2 + x) x]}$

Langkah 3.3.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- (2 + x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.4.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- (2 + x)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [2 + x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d x} [2 + x]}{\frac{d}{d x} [(2 + x) x]}$

Langkah 3.3.4.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 + x$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [(2 + x) x]}$

Langkah 3.3.4.3

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{0 - (0 + \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [(2 + x) x]}$

Langkah 3.3.4.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{0 - (0 + 1)}{\frac{d}{d x} [(2 + x) x]}$

Langkah 3.3.4.5

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{0 - 1 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [(2 + x) x]}$

Langkah 3.3.4.6

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{0 - 1}{\frac{d}{d x} [(2 + x) x]}$

Langkah 3.3.5

Kurangi $1$ dengan $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [(2 + x) x]}$

Langkah 3.3.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = 2 + x$ dan $g (x) = x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{(2 + x) \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [2 + x]}$

Langkah 3.3.7

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{(2 + x) \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [2 + x]}$

Langkah 3.3.8

Kalikan $2 + x$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{2 + x + x \frac{d}{d x} [2 + x]}$

Langkah 3.3.9

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 + x$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{2 + x + x (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x])}$

Langkah 3.3.10

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{2 + x + x (0 + \frac{d}{d x} [x])}$

Langkah 3.3.11

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{2 + x + x \frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 3.3.12

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{2 + x + x \cdot 1}$

Langkah 3.3.13

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{2 + x + x}$

Langkah 3.3.14

Tambahkan $x$ dan $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{2 + 2 x}$

Langkah 3.3.15

Susun kembali suku-suku.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{2 x + 2}$

Langkah 4

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Bagi Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} - 1}{lim_{x \to 0} 2 x + 2}$

Langkah 4.2

Evaluasi limit dari $- 1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1}{lim_{x \to 0} 2 x + 2}$

Langkah 4.3

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1}{lim_{x \to 0} 2 x + lim_{x \to 0} 2}$

Langkah 4.4

Pindahkan suku $2$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1}{2 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 2}$

Langkah 4.5

Evaluasi limit dari $2$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1}{2 lim_{x \to 0} x + 2}$

Langkah 5

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1}{2 \cdot 0 + 2}$

Langkah 6

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1}{0 + 2}$

Langkah 6.1.2

Tambahkan $0$ dan $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1}{2}$

Langkah 6.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$

Langkah 6.3

Kalikan $\frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2 \cdot 2}$

Langkah 6.3.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$- \frac{1}{4}$

Langkah 7

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$- \frac{1}{4}$

Bentuk Desimal:

$- 0.25$