Kalkulus Contoh

$\sum_{n = 1}^{8} - 4 {(\frac{1}{3})}^{n - 1}$

Langkah 1

Jumlah deret geometri berhingga dapat ditentukan menggunakan rumus $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ di mana $a$ adalah suku pertama dan $r$ adalah rasio antara dua suku berturut-turut.

Langkah 2

Tentukan rasio dari dua suku berturut-turut dengan memasukkan ke dalam rumus $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Substitusikan $a_{n}$ dan $a_{n + 1}$ ke dalam rumus untuk $r$ .

$r = \frac{- 4 {(\frac{1}{3})}^{n + 1 - 1}}{- 4 {(\frac{1}{3})}^{n - 1}}$

Langkah 2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$r = \frac{- 4 {(\frac{1}{3})}^{n + 1 - 1}}{- 4 {(\frac{1}{3})}^{n - 1}}$

Langkah 2.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{n + 1 - 1}}{{(\frac{1}{3})}^{n - 1}}$

Langkah 2.2.2

Hapus faktor persekutuan dari ${(\frac{1}{3})}^{n + 1 - 1}$ dan ${(\frac{1}{3})}^{n - 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Faktorkan ${(\frac{1}{3})}^{n - 1}$ dari ${(\frac{1}{3})}^{n + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{n - 1} {(\frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(\frac{1}{3})}^{n - 1}}$

Langkah 2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.2.1

Kalikan dengan $1$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{n - 1} {(\frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(\frac{1}{3})}^{n - 1} \cdot 1}$

Langkah 2.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{n - 1} {(\frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(\frac{1}{3})}^{n - 1} \cdot 1}$

Langkah 2.2.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}}{1}$

Langkah 2.2.2.2.4

Bagilah ${(\frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}$ dengan $1$ .

$r = {(\frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}$

Langkah 2.2.3

Tambahkan $n$ dan $0$ .

$r = {(\frac{1}{3})}^{n - (n - 1)}$

Langkah 2.2.4

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.4.1

Terapkan sifat distributif.

$r = {(\frac{1}{3})}^{n - n - - 1}$

Langkah 2.2.4.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$r = {(\frac{1}{3})}^{n - n + 1}$

Langkah 2.2.5

Kurangi $n$ dengan $n$ .

$r = {(\frac{1}{3})}^{0 + 1}$

Langkah 2.2.6

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$r = {(\frac{1}{3})}^{1}$

Langkah 2.2.7

Sederhanakan.

$r = \frac{1}{3}$

Langkah 3

Tentukan suku pertama dalam deret dengan mensubstitusikan ke dalam batas bawah dan menyederhanakannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $1$ untuk $n$ ke dalam $- 4 {(\frac{1}{3})}^{n - 1}$ .

$a = - 4 {(\frac{1}{3})}^{1 - 1}$

Langkah 3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$a = - 4 {(\frac{1}{3})}^{0}$

Langkah 3.2.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{3}$ .

$a = - 4 \frac{1^{0}}{3^{0}}$

Langkah 3.2.3

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$a = - 4 \frac{1}{3^{0}}$

Langkah 3.2.4

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$a = - 4 (\frac{1}{1})$

Langkah 3.2.5

Batalkan faktor persekutuan dari $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$a = - 4 (\frac{1}{1})$

Langkah 3.2.5.2

Tulis kembali pernyataannya.

$a = - 4 \cdot 1$

Langkah 3.2.6

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$a = - 4$

Langkah 4

Substitusikan nilai rasio, suku pertama, dan banyaknya suku ke dalam rumus penjumlahan.

$- 4 \frac{1 - {(\frac{1}{3})}^{8}}{1 - \frac{1}{3}}$

Langkah 5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Kalikan $\frac{1 - {(\frac{1}{3})}^{8}}{1 - \frac{1}{3}}$ dengan $\frac{3}{3}$ .

$- 4 (\frac{3}{3} \cdot \frac{1 - {(\frac{1}{3})}^{8}}{1 - \frac{1}{3}})$

Langkah 5.1.2

Gabungkan.

$- 4 \frac{3 (1 - {(\frac{1}{3})}^{8})}{3 (1 - \frac{1}{3})}$

Langkah 5.2

Terapkan sifat distributif.

$- 4 \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{1}{3})}$

Langkah 5.3

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{3}$ ke dalam pembilangnya.

$- 4 \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 + 3 (\frac{- 1}{3})}$

Langkah 5.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- 4 \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 + 3 (\frac{- 1}{3})}$

Langkah 5.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- 4 \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 - 1}$

Langkah 5.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$- 4 \frac{3 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 - 1}$

Langkah 5.4.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{3}$ .

$- 4 \frac{3 + 3 (- \frac{1^{8}}{3^{8}})}{3 \cdot 1 - 1}$

Langkah 5.4.3

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1^{8}}{3^{8}}$ ke dalam pembilangnya.

$- 4 \frac{3 + 3 \frac{- 1^{8}}{3^{8}}}{3 \cdot 1 - 1}$

Langkah 5.4.3.2

Faktorkan $3$ dari $3^{8}$ .

$- 4 \frac{3 + 3 \frac{- 1^{8}}{3 \cdot 3^{7}}}{3 \cdot 1 - 1}$

Langkah 5.4.3.3

Batalkan faktor persekutuan.

$- 4 \frac{3 + 3 \frac{- 1^{8}}{3 \cdot 3^{7}}}{3 \cdot 1 - 1}$

Langkah 5.4.3.4

Tulis kembali pernyataannya.

$- 4 \frac{3 + \frac{- 1^{8}}{3^{7}}}{3 \cdot 1 - 1}$

Langkah 5.4.4

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$- 4 \frac{3 + \frac{- 1 \cdot 1}{3^{7}}}{3 \cdot 1 - 1}$

Langkah 5.4.5

Naikkan $3$ menjadi pangkat $7$ .

$- 4 \frac{3 + \frac{- 1 \cdot 1}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

Langkah 5.4.6

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- 4 \frac{3 + \frac{- 1}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

Langkah 5.4.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- 4 \frac{3 - \frac{1}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

Langkah 5.4.8

Untuk menuliskan $3$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2187}{2187}$ .

$- 4 \frac{3 \cdot \frac{2187}{2187} - \frac{1}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

Langkah 5.4.9

Gabungkan $3$ dan $\frac{2187}{2187}$ .

$- 4 \frac{\frac{3 \cdot 2187}{2187} - \frac{1}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

Langkah 5.4.10

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$- 4 \frac{\frac{3 \cdot 2187 - 1}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

Langkah 5.4.11

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.11.1

Kalikan $3$ dengan $2187$ .

$- 4 \frac{\frac{6561 - 1}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

Langkah 5.4.11.2

Kurangi $1$ dengan $6561$ .

$- 4 \frac{\frac{6560}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

Langkah 5.5

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$- 4 \frac{\frac{6560}{2187}}{3 - 1}$

Langkah 5.5.2

Kurangi $1$ dengan $3$ .

$- 4 \frac{\frac{6560}{2187}}{2}$

Langkah 5.6

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1

Faktorkan $2$ dari $- 4$ .

$2 (- 2) \frac{\frac{6560}{2187}}{2}$

Langkah 5.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \cdot - 2 \frac{\frac{6560}{2187}}{2}$

Langkah 5.6.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- 2 (\frac{6560}{2187})$

Langkah 5.7

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{6560}{2187}$ .

$\frac{- 2 \cdot 6560}{2187}$

Langkah 5.8

Kalikan $- 2$ dengan $6560$ .

$\frac{- 13120}{2187}$

Langkah 5.9

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{13120}{2187}$

Langkah 6

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$- \frac{13120}{2187}$

Bentuk Desimal:

$- 5.99908550 \dots$

Bentuk Bilangan Campuran:

$- 5 \frac{2185}{2187}$