Kalkulus Contoh

$\int \frac{1}{\sqrt{4 + x^{2}}} d x$

Langkah 1

Biarkan $x = 2 \tan (t)$ , di mana $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Kemudian $d x = 2 \sec^{2} (t) d t$ . Perhatikan bahwa karena $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $2 \sec^{2} (t)$ positif.

$\int \frac{1}{\sqrt{4 + {(2 \tan (t))}^{2}}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Langkah 2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Sederhanakan $\sqrt{4 + {(2 \tan (t))}^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $2 \tan (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{4 + 2^{2} \tan^{2} (t)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Langkah 2.1.1.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{4 + 4 \tan^{2} (t)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Langkah 2.1.2

Faktorkan $4$ dari $4$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{4 (1) + 4 \tan^{2} (t)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Langkah 2.1.3

Faktorkan $4$ dari $4 \tan^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{4 (1) + 4 (\tan^{2} (t))}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Langkah 2.1.4

Faktorkan $4$ dari $4 (1) + 4 (\tan^{2} (t))$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{4 (1 + \tan^{2} (t))}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Langkah 2.1.5

Susun kembali suku-suku.

$\int \frac{1}{\sqrt{4 (\tan^{2} (t) + 1)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Langkah 2.1.6

Terapkan identitas pythagoras.

$\int \frac{1}{\sqrt{4 \sec^{2} (t)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Langkah 2.1.7

Tulis kembali $4 \sec^{2} (t)$ sebagai ${(2 \sec (t))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(2 \sec (t))}^{2}}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Langkah 2.1.8

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$\int \frac{1}{2 \sec (t)} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Langkah 2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2 \sec (t)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Faktorkan $2 \sec (t)$ dari $2 \sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) (\sec (t))) d t$

Langkah 2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\int \frac{1}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \sec (t)) d t$

Langkah 2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\int \sec (t) d t$

Langkah 3

Integral dari $\sec (t)$ terhadap $t$ adalah $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$

Langkah 4

Ganti semua kemunculan $t$ dengan $\arctan (\frac{x}{2})$ .

$\ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |) + C$

Langkah 5

Susun kembali suku-suku.

$\ln (| \sec (\arctan (\frac{1}{2} x)) + \tan (\arctan (\frac{1}{2} x)) |) + C$