Kalkulus Contoh

$\int x^{3} \sqrt{x^{2} - 1} d x$

Langkah 1

Biarkan $x = \sec (t)$ , di mana $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Kemudian $d x = \sec (t) \tan (t) d t$ . Perhatikan bahwa karena $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\sec (t) \tan (t)$ positif.

$\int \sec^{3} (t) \sqrt{\sec^{2} (t) - 1} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Langkah 2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Sederhanakan $\sqrt{\sec^{2} (t) - 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Terapkan identitas pythagoras.

$\int \sec^{3} (t) \sqrt{\tan^{2} (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Langkah 2.1.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$\int \sec^{3} (t) \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t$

Langkah 2.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Naikkan $\sec (t)$ menjadi pangkat $1$ .

$\int \sec^{1} (t) \sec^{3} (t) \tan (t) \tan (t) d t$

Langkah 2.2.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int {\sec (t)}^{1 + 3} \tan (t) \tan (t) d t$

Langkah 2.2.1.3

Tambahkan $1$ dan $3$ .

$\int \sec^{4} (t) \tan (t) \tan (t) d t$

Langkah 2.2.1.4

Naikkan $\tan (t)$ menjadi pangkat $1$ .

$\int \sec^{4} (t) (\tan^{1} (t) \tan (t)) d t$

Langkah 2.2.1.5

Naikkan $\tan (t)$ menjadi pangkat $1$ .

$\int \sec^{4} (t) (\tan^{1} (t) \tan^{1} (t)) d t$

Langkah 2.2.1.6

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int \sec^{4} (t) {\tan (t)}^{1 + 1} d t$

Langkah 2.2.1.7

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\int \sec^{4} (t) \tan^{2} (t) d t$

Langkah 2.2.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Tulis kembali $4$ sebagai $2$ ditambah $2$

$\int {\sec (t)}^{2 + 2} \tan^{2} (t) d t$

Langkah 2.2.2.2

Tulis kembali ${\sec (t)}^{2 + 2}$ sebagai $\sec^{2} (t) \sec^{2} (t)$ .

$\int \sec^{2} (t) \sec^{2} (t) \tan^{2} (t) d t$

Langkah 3

Menggunakan Identitas Pythagoras, tulis kembali $\sec^{2} (t)$ sebagai $1 + \tan^{2} (t)$ .

$\int (1 + \tan^{2} (t)) \sec^{2} (t) \tan^{2} (t) d t$

Langkah 4

Biarkan $u = \tan (t)$ . Kemudian $d u = \sec^{2} (t) d t$ sehingga $\frac{1}{\sec^{2} (t)} d u = d t$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Biarkan $u = \tan (t)$ . Tentukan $\frac{d u}{d t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Diferensialkan $\tan (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\tan (t)]$

Langkah 4.1.2

Turunan dari $\tan (t)$ terhadap $t$ adalah $\sec^{2} (t)$ .

$\sec^{2} (t)$

Langkah 4.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\int (1 + u^{2}) u^{2} d u$

Langkah 5

Kalikan $(1 + u^{2}) u^{2}$ .

$\int 1 u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Kalikan $u^{2}$ dengan $1$ .

$\int u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Langkah 6.2

Kalikan $u^{2}$ dengan $u^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int u^{2} + u^{2 + 2} d u$

Langkah 6.2.2

Tambahkan $2$ dan $2$ .

$\int u^{2} + u^{4} d u$

Langkah 7

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int u^{2} d u + \int u^{4} d u$

Langkah 8

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{2}$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{3} + C + \int u^{4} d u$

Langkah 9

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{4}$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{3} u^{3} + C + \frac{1}{5} u^{5} + C$

Langkah 10

Sederhanakan.

$\frac{1}{3} u^{3} + \frac{1}{5} u^{5} + C$

Langkah 11

Substitusikan kembali untuk setiap variabel substitusi pengintegralan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\tan (t)$ .

$\frac{1}{3} \tan^{3} (t) + \frac{1}{5} \tan^{5} (t) + C$

Langkah 11.2

Ganti semua kemunculan $t$ dengan $arcsec (x)$ .

$\frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (x)) + \frac{1}{5} \tan^{5} (arcsec (x)) + C$