Kalkulus Contoh

$\int 5 x \cos (2 x) d x$

Langkah 1

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $5$ keluar dari integral.

$5 \int x \cos (2 x) d x$

Langkah 2

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x$ dan $d v = \cos (2 x)$ .

$5 (x (\frac{1}{2} \sin (2 x)) - \int \frac{1}{2} \sin (2 x) d x)$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\sin (2 x)$ .

$5 (x \frac{\sin (2 x)}{2} - \int \frac{1}{2} \sin (2 x) d x)$

Langkah 3.2

Gabungkan $x$ dan $\frac{\sin (2 x)}{2}$ .

$5 (\frac{x \sin (2 x)}{2} - \int \frac{1}{2} \sin (2 x) d x)$

Langkah 3.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\sin (2 x)$ .

$5 (\frac{x \sin (2 x)}{2} - \int \frac{\sin (2 x)}{2} d x)$

Langkah 4

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$5 (\frac{x \sin (2 x)}{2} - (\frac{1}{2} \int \sin (2 x) d x))$

Langkah 5

Biarkan $u = 2 x$ . Kemudian $d u = 2 d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Biarkan $u = 2 x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Diferensialkan $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 5.1.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 5.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Langkah 5.1.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2$

Langkah 5.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$5 (\frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{2} \int \sin (u) \frac{1}{2} d u)$

Langkah 6

Gabungkan $\sin (u)$ dan $\frac{1}{2}$ .

$5 (\frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{\sin (u)}{2} d u)$

Langkah 7

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$5 (\frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \sin (u) d u))$

Langkah 8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$5 (\frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int \sin (u) d u)$

Langkah 8.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$5 (\frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{4} \int \sin (u) d u)$

Langkah 9

Integral dari $\sin (u)$ terhadap $u$ adalah $- \cos (u)$ .

$5 (\frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{4} (- \cos (u) + C))$

Langkah 10

Tulis kembali $5 (\frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{4} (- \cos (u) + C))$ sebagai $5 (\frac{x \sin (2 x)}{2} + \frac{\cos (u)}{4}) + C$ .

$5 (\frac{x \sin (2 x)}{2} + \frac{\cos (u)}{4}) + C$

Langkah 11

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x$ .

$5 (\frac{x \sin (2 x)}{2} + \frac{\cos (2 x)}{4}) + C$

Langkah 12

Susun kembali suku-suku.

$5 (\frac{1}{2} x \sin (2 x) + \frac{1}{4} \cos (2 x)) + C$