Kalkulus Contoh

$\int x \arcsin (x) d x$

Langkah 1

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = \arcsin (x)$ dan $d v = x$ .

$\arcsin (x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$\arcsin (x) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

Langkah 2.2

Gabungkan $\arcsin (x)$ dan $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

Langkah 3

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x^{2} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x)$

Langkah 4

Gabungkan $x^{2}$ dan $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

Langkah 5

Biarkan $x = \sin (t)$ , di mana $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Kemudian $d x = \cos (t) d t$ . Perhatikan bahwa karena $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\cos (t)$ positif.

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{\sin^{2} (t)}{\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Langkah 6

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Sederhanakan $\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Terapkan identitas pythagoras.

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{\sin^{2} (t)}{\sqrt{\cos^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Langkah 6.1.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{\sin^{2} (t)}{\cos (t)} \cos (t) d t$

Langkah 6.2

Batalkan faktor persekutuan dari $\cos (t)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{\sin^{2} (t)}{\cos (t)} \cos (t) d t$

Langkah 6.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int \sin^{2} (t) d t$

Langkah 7

Gunakan rumus setengah sudut untuk menuliskan kembali $\sin^{2} (t)$ sebagai $\frac{1 - \cos (2 t)}{2}$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{1 - \cos (2 t)}{2} d t$

Langkah 8

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 t) d t)$

Langkah 9

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int 1 - \cos (2 t) d t$

Langkah 9.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{4} \int 1 - \cos (2 t) d t$

Langkah 10

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{4} (\int d t + \int - \cos (2 t) d t)$

Langkah 11

Terapkan aturan konstanta.

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{4} (t + C + \int - \cos (2 t) d t)$

Langkah 12

Karena $- 1$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{4} (t + C - \int \cos (2 t) d t)$

Langkah 13

Biarkan $u = 2 t$ . Kemudian $d u = 2 d t$ sehingga $\frac{1}{2} d u = d t$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Biarkan $u = 2 t$ . Tentukan $\frac{d u}{d t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.1

Diferensialkan $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Langkah 13.1.2

Karena $2$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $2 t$ terhadap $t$ adalah $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Langkah 13.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Langkah 13.1.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2$

Langkah 13.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{4} (t + C - \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Langkah 14

Gabungkan $\cos (u)$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{4} (t + C - \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Langkah 15

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{4} (t + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u))$

Langkah 16

Integral dari $\cos (u)$ terhadap $u$ adalah $\sin (u)$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{4} (t + C - \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Langkah 17

Sederhanakan.

$\frac{1}{2} \arcsin (x) x^{2} - \frac{1}{4} (t - \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Langkah 18

Substitusikan kembali untuk setiap variabel substitusi pengintegralan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.1

Ganti semua kemunculan $t$ dengan $\arcsin (x)$ .

$\frac{1}{2} \arcsin (x) x^{2} - \frac{1}{4} (\arcsin (x) - \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Langkah 18.2

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 t$ .

$\frac{1}{2} \arcsin (x) x^{2} - \frac{1}{4} (\arcsin (x) - \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

Langkah 18.3

Ganti semua kemunculan $t$ dengan $\arcsin (x)$ .

$\frac{1}{2} \arcsin (x) x^{2} - \frac{1}{4} (\arcsin (x) - \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (x))) + C$

Langkah 19

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.1

Gabungkan $\sin (2 \arcsin (x))$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \arcsin (x) x^{2} - \frac{1}{4} (\arcsin (x) - \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2}) + C$

Langkah 19.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1}{2} \arcsin (x) x^{2} - \frac{1}{4} \arcsin (x) - \frac{1}{4} (- \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2}) + C$

Langkah 19.3

Gabungkan $\arcsin (x)$ dan $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2} \arcsin (x) x^{2} - \frac{\arcsin (x)}{4} - \frac{1}{4} (- \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2}) + C$

Langkah 19.4

Kalikan $- \frac{1}{4} (- \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.4.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{1}{2} \arcsin (x) x^{2} - \frac{\arcsin (x)}{4} + 1 (\frac{1}{4}) \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2} + C$

Langkah 19.4.2

Kalikan $\frac{1}{4}$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} \arcsin (x) x^{2} - \frac{\arcsin (x)}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2} + C$

Langkah 19.4.3

Kalikan $\frac{1}{4}$ dengan $\frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2}$ .

$\frac{1}{2} \arcsin (x) x^{2} - \frac{\arcsin (x)}{4} + \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{4 \cdot 2} + C$

Langkah 19.4.4

Kalikan $4$ dengan $2$ .

$\frac{1}{2} \arcsin (x) x^{2} - \frac{\arcsin (x)}{4} + \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{8} + C$

Langkah 19.5

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\arcsin (x)$ .

$\frac{\arcsin (x)}{2} x^{2} - \frac{\arcsin (x)}{4} + \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{8} + C$

Langkah 19.6

Gabungkan $\frac{\arcsin (x)}{2}$ dan $x^{2}$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - \frac{\arcsin (x)}{4} + \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{8} + C$

Langkah 20

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 20.1

Susun kembali faktor-faktor dalam $\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2}$ .

$\frac{x^{2} \arcsin (x)}{2} - \frac{\arcsin (x)}{4} + \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{8} + C$

Langkah 20.2

Susun kembali suku-suku.

$\frac{1}{2} x^{2} \arcsin (x) - \frac{1}{4} \arcsin (x) + \frac{1}{8} \sin (2 \arcsin (x)) + C$