Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{\sqrt{11}} \frac{10 x}{\sqrt{x^{2} + 25}} d x$

Langkah 1

Karena $10$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $10$ keluar dari integral.

$10 \int_{0}^{\sqrt{11}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 25}} d x$

Langkah 2

Biarkan $u = x^{2} + 25$ . Kemudian $d u = 2 x d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Biarkan $u = x^{2} + 25$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Diferensialkan $x^{2} + 25$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 25]$

Langkah 2.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 25$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]$

Langkah 2.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [25]$

Langkah 2.1.4

Karena $25$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $25$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$2 x + 0$

Langkah 2.1.5

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$2 x$

Langkah 2.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = x^{2} + 25$ .

$u_{lower} = 0^{2} + 25$

Langkah 2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$u_{lower} = 0 + 25$

Langkah 2.3.2

Tambahkan $0$ dan $25$ .

$u_{lower} = 25$

Langkah 2.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = x^{2} + 25$ .

$u_{upper} = {\sqrt{11}}^{2} + 25$

Langkah 2.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Tulis kembali ${\sqrt{11}}^{2}$ sebagai $11$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{11}$ sebagai $11^{\frac{1}{2}}$ .

$u_{upper} = {(11^{\frac{1}{2}})}^{2} + 25$

Langkah 2.5.1.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = 11^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 25$

Langkah 2.5.1.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$u_{upper} = 11^{\frac{2}{2}} + 25$

Langkah 2.5.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$u_{upper} = 11^{\frac{2}{2}} + 25$

Langkah 2.5.1.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$u_{upper} = 11^{1} + 25$

Langkah 2.5.1.5

Evaluasi eksponennya.

$u_{upper} = 11 + 25$

Langkah 2.5.2

Tambahkan $11$ dan $25$ .

$u_{upper} = 36$

Langkah 2.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 25$

$u_{upper} = 36$

Langkah 2.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$10 \int_{25}^{36} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan $\frac{1}{\sqrt{u}}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$10 \int_{25}^{36} \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

Langkah 3.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $\sqrt{u}$ .

$10 \int_{25}^{36} \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Langkah 4

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$10 (\frac{1}{2} \int_{25}^{36} \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Langkah 5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $10$ .

$\frac{10}{2} \int_{25}^{36} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Langkah 5.1.2

Hapus faktor persekutuan dari $10$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $10$ .

$\frac{2 \cdot 5}{2} \int_{25}^{36} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Langkah 5.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{2 \cdot 5}{2 (1)} \int_{25}^{36} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Langkah 5.1.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 1} \int_{25}^{36} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Langkah 5.1.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{5}{1} \int_{25}^{36} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Langkah 5.1.2.2.4

Bagilah $5$ dengan $1$ .

$5 \int_{25}^{36} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Langkah 5.2

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{u}$ sebagai $u^{\frac{1}{2}}$ .

$5 \int_{25}^{36} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Langkah 5.2.2

Pindahkan $u^{\frac{1}{2}}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$5 \int_{25}^{36} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Langkah 5.2.3

Kalikan eksponen dalam ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 \int_{25}^{36} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Langkah 5.2.3.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $- 1$ .

$5 \int_{25}^{36} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Langkah 5.2.3.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$5 \int_{25}^{36} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Langkah 6

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{- \frac{1}{2}}$ terhadap $u$ adalah $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$5 (2 u^{\frac{1}{2}}]_{25}^{36})$

Langkah 7

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Evaluasi $2 u^{\frac{1}{2}}$ pada $36$ dan pada $25$ .

$5 ((2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 25^{\frac{1}{2}})$

Langkah 7.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Tulis kembali $36$ sebagai $6^{2}$ .

$5 (2 \cdot {(6^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 25^{\frac{1}{2}})$

Langkah 7.2.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 (2 \cdot 6^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 25^{\frac{1}{2}})$

Langkah 7.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$5 (2 \cdot 6^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 25^{\frac{1}{2}})$

Langkah 7.2.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$5 (2 \cdot 6^{1} - 2 \cdot 25^{\frac{1}{2}})$

Langkah 7.2.4

Evaluasi eksponennya.

$5 (2 \cdot 6 - 2 \cdot 25^{\frac{1}{2}})$

Langkah 7.2.5

Kalikan $2$ dengan $6$ .

$5 (12 - 2 \cdot 25^{\frac{1}{2}})$

Langkah 7.2.6

Tulis kembali $25$ sebagai $5^{2}$ .

$5 (12 - 2 \cdot {(5^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Langkah 7.2.7

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 (12 - 2 \cdot 5^{2 (\frac{1}{2})})$

Langkah 7.2.8

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.8.1

Batalkan faktor persekutuan.

$5 (12 - 2 \cdot 5^{2 (\frac{1}{2})})$

Langkah 7.2.8.2

Tulis kembali pernyataannya.

$5 (12 - 2 \cdot 5^{1})$

Langkah 7.2.9

Evaluasi eksponennya.

$5 (12 - 2 \cdot 5)$

Langkah 7.2.10

Kalikan $- 2$ dengan $5$ .

$5 (12 - 10)$

Langkah 7.2.11

Kurangi $10$ dengan $12$ .

$5 \cdot 2$

Langkah 7.2.12

Kalikan $5$ dengan $2$ .

$10$

Langkah 8