Kalkulus Contoh

$f (x) = x^{4} - 2 x^{2} + 3$

Langkah 1

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{4} - 2 x^{2} + 3$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3)$

Langkah 1.1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3)$

Langkah 1.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 2 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (3)$

Langkah 1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} (3)$

Langkah 1.1.2.3

Kalikan $2$ dengan $- 2$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x + \frac{d}{d x} (3)$

Langkah 1.1.3

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x + 0$

Langkah 1.1.3.2

Tambahkan $4 x^{3} - 4 x$ dan $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x$

Langkah 1.2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $4 x^{3} - 4 x$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Langkah 1.2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 x^{3}$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Langkah 1.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Langkah 1.2.2.3

Kalikan $3$ dengan $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Langkah 1.2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Karena $- 4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 4 x$ terhadap $x$ adalah $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} x$

Langkah 1.2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 4 \cdot 1$

Langkah 1.2.3.3

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 4$

Langkah 1.3

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $12 x^{2} - 4$ .

$12 x^{2} - 4$

Langkah 2

Atur turunan keduanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $12 x^{2} - 4 = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Atur turunan keduanya sama dengan $0$ .

$12 x^{2} - 4 = 0$

Langkah 2.2

Tambahkan $4$ ke kedua sisi persamaan.

$12 x^{2} = 4$

Langkah 2.3

Bagi setiap suku pada $12 x^{2} = 4$ dengan $12$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Bagilah setiap suku di $12 x^{2} = 4$ dengan $12$ .

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{4}{12}$

Langkah 2.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $12$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{4}{12}$

Langkah 2.3.2.1.2

Bagilah $x^{2}$ dengan $1$ .

$x^{2} = \frac{4}{12}$

Langkah 2.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Hapus faktor persekutuan dari $4$ dan $12$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1.1

Faktorkan $4$ dari $4$ .

$x^{2} = \frac{4 (1)}{12}$

Langkah 2.3.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1.2.1

Faktorkan $4$ dari $12$ .

$x^{2} = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}$

Langkah 2.3.3.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$x^{2} = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}$

Langkah 2.3.3.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$x^{2} = \frac{1}{3}$

Langkah 2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

Langkah 2.5

Sederhanakan $\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Tulis kembali $\sqrt{\frac{1}{3}}$ sebagai $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Langkah 2.5.2

Sebarang akar dari $1$ adalah $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

Langkah 2.5.3

Kalikan $\frac{1}{\sqrt{3}}$ dengan $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Langkah 2.5.4

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.4.1

Kalikan $\frac{1}{\sqrt{3}}$ dengan $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Langkah 2.5.4.2

Naikkan $\sqrt{3}$ menjadi pangkat $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Langkah 2.5.4.3

Naikkan $\sqrt{3}$ menjadi pangkat $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Langkah 2.5.4.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Langkah 2.5.4.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Langkah 2.5.4.6

Tulis kembali ${\sqrt{3}}^{2}$ sebagai $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.4.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{3}$ sebagai $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 2.5.4.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 2.5.4.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 2.5.4.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.4.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 2.5.4.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Langkah 2.5.4.6.5

Evaluasi eksponennya.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

Langkah 2.6

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Langkah 2.6.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Langkah 2.6.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Langkah 3

Tentukan titik di mana turunan keduanya adalah $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $\frac{\sqrt{3}}{3}$ dalam $f (x) = x^{4} - 2 x^{2} + 3$ untuk menemukan nilai dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{\sqrt{3}}{3}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{4} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 3$

Langkah 3.1.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{{\sqrt{3}}^{4}}{3^{4}} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 3$

Langkah 3.1.2.1.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1.2.1

Tulis kembali ${\sqrt{3}}^{4}$ sebagai $3^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1.2.1.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{3}$ sebagai $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{4}}{3^{4}} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 3$

Langkah 3.1.2.1.2.1.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{3^{4}} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 3$

Langkah 3.1.2.1.2.1.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $4$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{4}{2}}}{3^{4}} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 3$

Langkah 3.1.2.1.2.1.4

Hapus faktor persekutuan dari $4$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1.2.1.4.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{3^{4}} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 3$

Langkah 3.1.2.1.2.1.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1.2.1.4.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{3^{4}} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 3$

Langkah 3.1.2.1.2.1.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{3^{4}} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 3$

Langkah 3.1.2.1.2.1.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{2}{1}}}{3^{4}} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 3$

Langkah 3.1.2.1.2.1.4.2.4

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{2}}{3^{4}} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 3$

Langkah 3.1.2.1.2.2

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{9}{3^{4}} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 3$

Langkah 3.1.2.1.3

Naikkan $3$ menjadi pangkat $4$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{9}{81} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 3$

Langkah 3.1.2.1.4

Hapus faktor persekutuan dari $9$ dan $81$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1.4.1

Faktorkan $9$ dari $9$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{9 (1)}{81} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 3$

Langkah 3.1.2.1.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1.4.2.1

Faktorkan $9$ dari $81$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 9} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 3$

Langkah 3.1.2.1.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 9} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 3$

Langkah 3.1.2.1.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 3$

Langkah 3.1.2.1.5

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} + 3$

Langkah 3.1.2.1.6

Tulis kembali ${\sqrt{3}}^{2}$ sebagai $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{3}$ sebagai $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} + 3$

Langkah 3.1.2.1.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} + 3$

Langkah 3.1.2.1.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 3$

Langkah 3.1.2.1.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 3$

Langkah 3.1.2.1.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3}{3^{2}} + 3$

Langkah 3.1.2.1.6.5

Evaluasi eksponennya.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3}{3^{2}} + 3$

Langkah 3.1.2.1.7

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 (\frac{3}{9}) + 3$

Langkah 3.1.2.1.8

Hapus faktor persekutuan dari $3$ dan $9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1.8.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3 (1)}{9} + 3$

Langkah 3.1.2.1.8.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1.8.2.1

Faktorkan $3$ dari $9$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3} + 3$

Langkah 3.1.2.1.8.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3} + 3$

Langkah 3.1.2.1.8.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 (\frac{1}{3}) + 3$

Langkah 3.1.2.1.9

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} + \frac{- 2}{3} + 3$

Langkah 3.1.2.1.10

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - \frac{2}{3} + 3$

Langkah 3.1.2.2

Menentukan penyebut persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.2.1

Kalikan $\frac{2}{3}$ dengan $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - (\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{3}) + 3$

Langkah 3.1.2.2.2

Kalikan $\frac{2}{3}$ dengan $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} + 3$

Langkah 3.1.2.2.3

Tulis $3$ sebagai pecahan dengan penyebut $1$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{3}{1}$

Langkah 3.1.2.2.4

Kalikan $\frac{3}{1}$ dengan $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{3}{1} \cdot \frac{9}{9}$

Langkah 3.1.2.2.5

Kalikan $\frac{3}{1}$ dengan $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{3 \cdot 9}{9}$

Langkah 3.1.2.2.6

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - \frac{2 \cdot 3}{9} + \frac{3 \cdot 9}{9}$

Langkah 3.1.2.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1 - 2 \cdot 3 + 3 \cdot 9}{9}$

Langkah 3.1.2.4

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.4.1

Kalikan $- 2$ dengan $3$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1 - 6 + 3 \cdot 9}{9}$

Langkah 3.1.2.4.2

Kalikan $3$ dengan $9$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1 - 6 + 27}{9}$

Langkah 3.1.2.5

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.5.1

Kurangi $6$ dengan $1$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{- 5 + 27}{9}$

Langkah 3.1.2.5.2

Tambahkan $- 5$ dan $27$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{22}{9}$

Langkah 3.1.2.6

Jawaban akhirnya adalah $\frac{22}{9}$ .

$\frac{22}{9}$

Langkah 3.2

Titiknya yang ditemukan dengan mensubsitusi $\frac{\sqrt{3}}{3}$ dalam $f (x) = x^{4} - 2 x^{2} + 3$ adalah $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{22}{9})$ . Titik ini dapat menjadi titik belok.

$(\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{22}{9})$

Langkah 3.3

Substitusikan $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ dalam $f (x) = x^{4} - 2 x^{2} + 3$ untuk menemukan nilai dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Ganti variabel $x$ dengan $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ pada pernyataan tersebut.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{4} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 3$

Langkah 3.3.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.1

Gunakan kaidah pangkat ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ untuk menyebarkan pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = {(- 1)}^{4} {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{4} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 3$

Langkah 3.3.2.1.1.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = {(- 1)}^{4} (\frac{{\sqrt{3}}^{4}}{3^{4}}) - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 3$

Langkah 3.3.2.1.2

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $4$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = 1 (\frac{{\sqrt{3}}^{4}}{3^{4}}) - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 3$

Langkah 3.3.2.1.3

Kalikan $\frac{{\sqrt{3}}^{4}}{3^{4}}$ dengan $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{{\sqrt{3}}^{4}}{3^{4}} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 3$

Langkah 3.3.2.1.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.4.1

Tulis kembali ${\sqrt{3}}^{4}$ sebagai $3^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.4.1.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{3}$ sebagai $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{4}}{3^{4}} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 3$

Langkah 3.3.2.1.4.1.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{3^{4}} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 3$

Langkah 3.3.2.1.4.1.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $4$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{4}{2}}}{3^{4}} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 3$

Langkah 3.3.2.1.4.1.4

Hapus faktor persekutuan dari $4$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.4.1.4.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{3^{4}} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 3$

Langkah 3.3.2.1.4.1.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.4.1.4.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{3^{4}} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 3$

Langkah 3.3.2.1.4.1.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{3^{4}} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 3$

Langkah 3.3.2.1.4.1.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{2}{1}}}{3^{4}} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 3$

Langkah 3.3.2.1.4.1.4.2.4

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{2}}{3^{4}} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 3$

Langkah 3.3.2.1.4.2

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{9}{3^{4}} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 3$

Langkah 3.3.2.1.5

Naikkan $3$ menjadi pangkat $4$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{9}{81} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 3$

Langkah 3.3.2.1.6

Hapus faktor persekutuan dari $9$ dan $81$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.6.1

Faktorkan $9$ dari $9$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{9 (1)}{81} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 3$

Langkah 3.3.2.1.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.6.2.1

Faktorkan $9$ dari $81$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 9} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 3$

Langkah 3.3.2.1.6.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 9} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 3$

Langkah 3.3.2.1.6.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 3$

Langkah 3.3.2.1.7

Gunakan kaidah pangkat ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ untuk menyebarkan pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.7.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}) + 3$

Langkah 3.3.2.1.7.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 ({(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}})) + 3$

Langkah 3.3.2.1.8

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 (1 (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}})) + 3$

Langkah 3.3.2.1.9

Kalikan $\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}$ dengan $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} + 3$

Langkah 3.3.2.1.10

Tulis kembali ${\sqrt{3}}^{2}$ sebagai $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.10.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{3}$ sebagai $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} + 3$

Langkah 3.3.2.1.10.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} + 3$

Langkah 3.3.2.1.10.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 3$

Langkah 3.3.2.1.10.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.10.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 3$

Langkah 3.3.2.1.10.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3}{3^{2}} + 3$

Langkah 3.3.2.1.10.5

Evaluasi eksponennya.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3}{3^{2}} + 3$

Langkah 3.3.2.1.11

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 (\frac{3}{9}) + 3$

Langkah 3.3.2.1.12

Hapus faktor persekutuan dari $3$ dan $9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.12.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3 (1)}{9} + 3$

Langkah 3.3.2.1.12.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.12.2.1

Faktorkan $3$ dari $9$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3} + 3$

Langkah 3.3.2.1.12.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3} + 3$

Langkah 3.3.2.1.12.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 (\frac{1}{3}) + 3$

Langkah 3.3.2.1.13

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{1}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} + \frac{- 2}{3} + 3$

Langkah 3.3.2.1.14

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - \frac{2}{3} + 3$

Langkah 3.3.2.2

Menentukan penyebut persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.2.1

Kalikan $\frac{2}{3}$ dengan $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - (\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{3}) + 3$

Langkah 3.3.2.2.2

Kalikan $\frac{2}{3}$ dengan $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} + 3$

Langkah 3.3.2.2.3

Tulis $3$ sebagai pecahan dengan penyebut $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{3}{1}$

Langkah 3.3.2.2.4

Kalikan $\frac{3}{1}$ dengan $\frac{9}{9}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{3}{1} \cdot \frac{9}{9}$

Langkah 3.3.2.2.5

Kalikan $\frac{3}{1}$ dengan $\frac{9}{9}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{3 \cdot 9}{9}$

Langkah 3.3.2.2.6

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - \frac{2 \cdot 3}{9} + \frac{3 \cdot 9}{9}$

Langkah 3.3.2.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1 - 2 \cdot 3 + 3 \cdot 9}{9}$

Langkah 3.3.2.4

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.4.1

Kalikan $- 2$ dengan $3$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1 - 6 + 3 \cdot 9}{9}$

Langkah 3.3.2.4.2

Kalikan $3$ dengan $9$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1 - 6 + 27}{9}$

Langkah 3.3.2.5

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.5.1

Kurangi $6$ dengan $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{- 5 + 27}{9}$

Langkah 3.3.2.5.2

Tambahkan $- 5$ dan $27$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{22}{9}$

Langkah 3.3.2.6

Jawaban akhirnya adalah $\frac{22}{9}$ .

$\frac{22}{9}$

Langkah 3.4

Titiknya yang ditemukan dengan mensubsitusi $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ dalam $f (x) = x^{4} - 2 x^{2} + 3$ adalah $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{22}{9})$ . Titik ini dapat menjadi titik belok.

$(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{22}{9})$

Langkah 3.5

Tentukan titik-titik yang dapat menjadi titik belok.

$(\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{22}{9}), (- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{22}{9})$

Langkah 4

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval di sekitar titik-titik yang dapat berpotensi menjadi titik-titik belok.

$(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3}) \cup (- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}) \cup (\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$

Langkah 5

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 0.67735026$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (- 0.67735026) = 12 {(- 0.67735026)}^{2} - 4$

Langkah 5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Naikkan $- 0.67735026$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (- 0.67735026) = 12 \cdot 0.45880338 - 4$

Langkah 5.2.1.2

Kalikan $12$ dengan $0.45880338$ .

$f'' (- 0.67735026) = 5.50564064 - 4$

Langkah 5.2.2

Kurangi $4$ dengan $5.50564064$ .

$f'' (- 0.67735026) = 1.50564064$

Langkah 5.2.3

Jawaban akhirnya adalah $1.50564064$ .

$1.50564064$

Langkah 5.3

Pada $- 0.67735026$ , turunan keduanya adalah $1.50564064$ . Karena ini positif, turunan keduanya meningkat pada interval $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ .

Meningkat pada $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ karena $f'' (x) > 0$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (0) = 12 {(0)}^{2} - 4$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f'' (0) = 12 \cdot 0 - 4$

Langkah 6.2.1.2

Kalikan $12$ dengan $0$ .

$f'' (0) = 0 - 4$

Langkah 6.2.2

Kurangi $4$ dengan $0$ .

$f'' (0) = - 4$

Langkah 6.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 4$ .

$- 4$

Langkah 6.3

Pada $0$ , turunan kedua adalah $- 4$ . Karena ini negatif, turunan kedua menurun pada interval $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$

Menurun pada $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ karena $f'' (x) < 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $0.67735026$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (0.67735026) = 12 {(0.67735026)}^{2} - 4$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Naikkan $0.67735026$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (0.67735026) = 12 \cdot 0.45880338 - 4$

Langkah 7.2.1.2

Kalikan $12$ dengan $0.45880338$ .

$f'' (0.67735026) = 5.50564064 - 4$

Langkah 7.2.2

Kurangi $4$ dengan $5.50564064$ .

$f'' (0.67735026) = 1.50564064$

Langkah 7.2.3

Jawaban akhirnya adalah $1.50564064$ .

$1.50564064$

Langkah 7.3

Pada $0.67735026$ , turunan keduanya adalah $1.50564064$ . Karena ini positif, turunan keduanya meningkat pada interval $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ .

Meningkat pada $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ karena $f'' (x) > 0$

Langkah 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{22}{9}), (\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{22}{9})$ .

$(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{22}{9}), (\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{22}{9})$

Langkah 9