Kalkulus Contoh

Tentukan Maksimum dan Minimum Lokal y=x/(x^2+25)
Langkah 1
Tulis sebagai fungsi.
Langkah 2
Tentukan turunan pertama dari fungsi.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.1
Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa adalah di mana dan .
Langkah 2.2
Diferensialkan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.2.1
Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa adalah di mana .
Langkah 2.2.2
Kalikan dengan .
Langkah 2.2.3
Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari terhadap (Variabel1) adalah .
Langkah 2.2.4
Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa adalah di mana .
Langkah 2.2.5
Karena konstan terhadap , turunan dari terhadap adalah .
Langkah 2.2.6
Sederhanakan pernyataannya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.2.6.1
Tambahkan dan .
Langkah 2.2.6.2
Kalikan dengan .
Langkah 2.3
Naikkan menjadi pangkat .
Langkah 2.4
Naikkan menjadi pangkat .
Langkah 2.5
Gunakan kaidah pangkat untuk menggabungkan pangkat.
Langkah 2.6
Tambahkan dan .
Langkah 2.7
Kurangi dengan .
Langkah 3
Tentukan turunan kedua dari fungsi.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 3.1
Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa adalah di mana dan .
Langkah 3.2
Diferensialkan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 3.2.1
Kalikan eksponen dalam .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 3.2.1.1
Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, .
Langkah 3.2.1.2
Kalikan dengan .
Langkah 3.2.2
Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari terhadap (Variabel1) adalah .
Langkah 3.2.3
Karena konstan terhadap , turunan dari terhadap adalah .
Langkah 3.2.4
Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa adalah di mana .
Langkah 3.2.5
Kalikan dengan .
Langkah 3.2.6
Karena konstan terhadap , turunan dari terhadap adalah .
Langkah 3.2.7
Tambahkan dan .
Langkah 3.3
Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa adalah di mana dan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 3.3.1
Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur sebagai .
Langkah 3.3.2
Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa adalah di mana .
Langkah 3.3.3
Ganti semua kemunculan dengan .
Langkah 3.4
Diferensialkan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 3.4.1
Kalikan dengan .
Langkah 3.4.2
Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari terhadap (Variabel1) adalah .
Langkah 3.4.3
Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa adalah di mana .
Langkah 3.4.4
Karena konstan terhadap , turunan dari terhadap adalah .
Langkah 3.4.5
Sederhanakan pernyataannya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 3.4.5.1
Tambahkan dan .
Langkah 3.4.5.2
Pindahkan ke sebelah kiri .
Langkah 3.4.5.3
Kalikan dengan .
Langkah 3.5
Sederhanakan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 3.5.1
Terapkan sifat distributif.
Langkah 3.5.2
Terapkan sifat distributif.
Langkah 3.5.3
Sederhanakan pembilangnya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 3.5.3.1
Sederhanakan setiap suku.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 3.5.3.1.1
Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.
Langkah 3.5.3.1.2
Tulis kembali sebagai .
Langkah 3.5.3.1.3
Perluas menggunakan Metode FOIL.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 3.5.3.1.3.1
Terapkan sifat distributif.
Langkah 3.5.3.1.3.2
Terapkan sifat distributif.
Langkah 3.5.3.1.3.3
Terapkan sifat distributif.
Langkah 3.5.3.1.4
Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 3.5.3.1.4.1
Sederhanakan setiap suku.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 3.5.3.1.4.1.1
Kalikan dengan dengan menambahkan eksponennya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 3.5.3.1.4.1.1.1
Gunakan kaidah pangkat untuk menggabungkan pangkat.
Langkah 3.5.3.1.4.1.1.2
Tambahkan dan .
Langkah 3.5.3.1.4.1.2
Pindahkan ke sebelah kiri .
Langkah 3.5.3.1.4.1.3
Kalikan dengan .
Langkah 3.5.3.1.4.2
Tambahkan dan .
Langkah 3.5.3.1.5
Terapkan sifat distributif.
Langkah 3.5.3.1.6
Sederhanakan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 3.5.3.1.6.1
Kalikan dengan .
Langkah 3.5.3.1.6.2
Kalikan dengan .
Langkah 3.5.3.1.7
Terapkan sifat distributif.
Langkah 3.5.3.1.8
Sederhanakan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 3.5.3.1.8.1
Kalikan dengan dengan menambahkan eksponennya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 3.5.3.1.8.1.1
Pindahkan .
Langkah 3.5.3.1.8.1.2
Kalikan dengan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 3.5.3.1.8.1.2.1
Naikkan menjadi pangkat .
Langkah 3.5.3.1.8.1.2.2
Gunakan kaidah pangkat untuk menggabungkan pangkat.
Langkah 3.5.3.1.8.1.3
Tambahkan dan .
Langkah 3.5.3.1.8.2
Kalikan dengan dengan menambahkan eksponennya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 3.5.3.1.8.2.1
Pindahkan .
Langkah 3.5.3.1.8.2.2
Kalikan dengan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 3.5.3.1.8.2.2.1
Naikkan menjadi pangkat .
Langkah 3.5.3.1.8.2.2.2
Gunakan kaidah pangkat untuk menggabungkan pangkat.
Langkah 3.5.3.1.8.2.3
Tambahkan dan .
Langkah 3.5.3.1.9
Sederhanakan setiap suku.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 3.5.3.1.9.1
Kalikan dengan .
Langkah 3.5.3.1.9.2
Kalikan dengan .
Langkah 3.5.3.1.10
Kalikan dengan dengan menambahkan eksponennya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 3.5.3.1.10.1
Kalikan dengan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 3.5.3.1.10.1.1
Naikkan menjadi pangkat .
Langkah 3.5.3.1.10.1.2
Gunakan kaidah pangkat untuk menggabungkan pangkat.
Langkah 3.5.3.1.10.2
Tambahkan dan .
Langkah 3.5.3.1.11
Perluas menggunakan Metode FOIL.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 3.5.3.1.11.1
Terapkan sifat distributif.
Langkah 3.5.3.1.11.2
Terapkan sifat distributif.
Langkah 3.5.3.1.11.3
Terapkan sifat distributif.
Langkah 3.5.3.1.12
Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 3.5.3.1.12.1
Sederhanakan setiap suku.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 3.5.3.1.12.1.1
Kalikan dengan dengan menambahkan eksponennya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 3.5.3.1.12.1.1.1
Pindahkan .
Langkah 3.5.3.1.12.1.1.2
Gunakan kaidah pangkat untuk menggabungkan pangkat.
Langkah 3.5.3.1.12.1.1.3
Tambahkan dan .
Langkah 3.5.3.1.12.1.2
Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.
Langkah 3.5.3.1.12.1.3
Kalikan dengan dengan menambahkan eksponennya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 3.5.3.1.12.1.3.1
Pindahkan .
Langkah 3.5.3.1.12.1.3.2
Kalikan dengan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 3.5.3.1.12.1.3.2.1
Naikkan menjadi pangkat .
Langkah 3.5.3.1.12.1.3.2.2
Gunakan kaidah pangkat untuk menggabungkan pangkat.
Langkah 3.5.3.1.12.1.3.3
Tambahkan dan .
Langkah 3.5.3.1.12.1.4
Kalikan dengan .
Langkah 3.5.3.1.12.1.5
Kalikan dengan .
Langkah 3.5.3.1.12.2
Kurangi dengan .
Langkah 3.5.3.1.12.3
Tambahkan dan .
Langkah 3.5.3.2
Tambahkan dan .
Langkah 3.5.3.3
Kurangi dengan .
Langkah 3.5.4
Sederhanakan pembilangnya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 3.5.4.1
Faktorkan dari .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 3.5.4.1.1
Faktorkan dari .
Langkah 3.5.4.1.2
Faktorkan dari .
Langkah 3.5.4.1.3
Faktorkan dari .
Langkah 3.5.4.1.4
Faktorkan dari .
Langkah 3.5.4.1.5
Faktorkan dari .
Langkah 3.5.4.2
Tulis kembali sebagai .
Langkah 3.5.4.3
Biarkan . Masukkan untuk semua kejadian .
Langkah 3.5.4.4
Faktorkan menggunakan metode AC.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 3.5.4.4.1
Mempertimbangkan bentuk . Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya . Dalam hal ini, hasil kalinya dan jumlahnya .
Langkah 3.5.4.4.2
Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.
Langkah 3.5.4.5
Ganti semua kemunculan dengan .
Langkah 3.5.5
Hapus faktor persekutuan dari dan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 3.5.5.1
Faktorkan dari .
Langkah 3.5.5.2
Batalkan faktor persekutuan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 3.5.5.2.1
Faktorkan dari .
Langkah 3.5.5.2.2
Batalkan faktor persekutuan.
Langkah 3.5.5.2.3
Tulis kembali pernyataannya.
Langkah 4
Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan , lalu selesaikan.
Langkah 5
Tentukan turunan pertamanya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 5.1
Tentukan turunan pertamanya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 5.1.1
Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa adalah di mana dan .
Langkah 5.1.2
Diferensialkan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 5.1.2.1
Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa adalah di mana .
Langkah 5.1.2.2
Kalikan dengan .
Langkah 5.1.2.3
Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari terhadap (Variabel1) adalah .
Langkah 5.1.2.4
Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa adalah di mana .
Langkah 5.1.2.5
Karena konstan terhadap , turunan dari terhadap adalah .
Langkah 5.1.2.6
Sederhanakan pernyataannya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 5.1.2.6.1
Tambahkan dan .
Langkah 5.1.2.6.2
Kalikan dengan .
Langkah 5.1.3
Naikkan menjadi pangkat .
Langkah 5.1.4
Naikkan menjadi pangkat .
Langkah 5.1.5
Gunakan kaidah pangkat untuk menggabungkan pangkat.
Langkah 5.1.6
Tambahkan dan .
Langkah 5.1.7
Kurangi dengan .
Langkah 5.2
Turunan pertama dari terhadap adalah .
Langkah 6
Buat turunan pertamanya agar sama dengan dan selesaikan persamaan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 6.1
Buat turunan pertamanya agar sama dengan .
Langkah 6.2
Atur agar pembilangnya sama dengan nol.
Langkah 6.3
Selesaikan persamaan untuk .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 6.3.1
Kurangkan dari kedua sisi persamaan tersebut.
Langkah 6.3.2
Bagi setiap suku pada dengan dan sederhanakan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 6.3.2.1
Bagilah setiap suku di dengan .
Langkah 6.3.2.2
Sederhanakan sisi kirinya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 6.3.2.2.1
Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.
Langkah 6.3.2.2.2
Bagilah dengan .
Langkah 6.3.2.3
Sederhanakan sisi kanannya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 6.3.2.3.1
Bagilah dengan .
Langkah 6.3.3
Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.
Langkah 6.3.4
Sederhanakan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 6.3.4.1
Tulis kembali sebagai .
Langkah 6.3.4.2
Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.
Langkah 6.3.5
Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 6.3.5.1
Pertama, gunakan nilai positif dari untuk menemukan penyelesaian pertama.
Langkah 6.3.5.2
Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari untuk menemukan penyelesaian kedua.
Langkah 6.3.5.3
Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.
Langkah 7
Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 7.1
Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.
Langkah 8
Titik kritis untuk dievaluasi.
Langkah 9
Evaluasi turunan kedua pada . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.
Langkah 10
Evaluasi turunan keduanya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 10.1
Kalikan dengan .
Langkah 10.2
Sederhanakan penyebutnya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 10.2.1
Naikkan menjadi pangkat .
Langkah 10.2.2
Tambahkan dan .
Langkah 10.2.3
Naikkan menjadi pangkat .
Langkah 10.3
Sederhanakan pembilangnya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 10.3.1
Naikkan menjadi pangkat .
Langkah 10.3.2
Kurangi dengan .
Langkah 10.4
Kurangi pernyataan tersebut dengan menghapus faktor persekutuan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 10.4.1
Kalikan dengan .
Langkah 10.4.2
Hapus faktor persekutuan dari dan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 10.4.2.1
Faktorkan dari .
Langkah 10.4.2.2
Batalkan faktor persekutuan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 10.4.2.2.1
Faktorkan dari .
Langkah 10.4.2.2.2
Batalkan faktor persekutuan.
Langkah 10.4.2.2.3
Tulis kembali pernyataannya.
Langkah 10.4.3
Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.
Langkah 11
adalah maksimum lokal karena nilai dari turunan keduanya negatif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.
adalah maksimum lokal
Langkah 12
Tentukan nilai y ketika .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 12.1
Ganti variabel dengan pada pernyataan tersebut.
Langkah 12.2
Sederhanakan hasilnya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 12.2.1
Sederhanakan penyebutnya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 12.2.1.1
Naikkan menjadi pangkat .
Langkah 12.2.1.2
Tambahkan dan .
Langkah 12.2.2
Hapus faktor persekutuan dari dan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 12.2.2.1
Faktorkan dari .
Langkah 12.2.2.2
Batalkan faktor persekutuan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 12.2.2.2.1
Faktorkan dari .
Langkah 12.2.2.2.2
Batalkan faktor persekutuan.
Langkah 12.2.2.2.3
Tulis kembali pernyataannya.
Langkah 12.2.3
Jawaban akhirnya adalah .
Langkah 13
Evaluasi turunan kedua pada . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.
Langkah 14
Evaluasi turunan keduanya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 14.1
Kalikan dengan .
Langkah 14.2
Sederhanakan penyebutnya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 14.2.1
Naikkan menjadi pangkat .
Langkah 14.2.2
Tambahkan dan .
Langkah 14.2.3
Naikkan menjadi pangkat .
Langkah 14.3
Sederhanakan pembilangnya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 14.3.1
Naikkan menjadi pangkat .
Langkah 14.3.2
Kurangi dengan .
Langkah 14.4
Kurangi pernyataan tersebut dengan menghapus faktor persekutuan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 14.4.1
Kalikan dengan .
Langkah 14.4.2
Hapus faktor persekutuan dari dan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 14.4.2.1
Faktorkan dari .
Langkah 14.4.2.2
Batalkan faktor persekutuan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 14.4.2.2.1
Faktorkan dari .
Langkah 14.4.2.2.2
Batalkan faktor persekutuan.
Langkah 14.4.2.2.3
Tulis kembali pernyataannya.
Langkah 15
adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.
adalah minimum lokal
Langkah 16
Tentukan nilai y ketika .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 16.1
Ganti variabel dengan pada pernyataan tersebut.
Langkah 16.2
Sederhanakan hasilnya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 16.2.1
Sederhanakan penyebutnya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 16.2.1.1
Naikkan menjadi pangkat .
Langkah 16.2.1.2
Tambahkan dan .
Langkah 16.2.2
Kurangi pernyataan tersebut dengan menghapus faktor persekutuan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 16.2.2.1
Hapus faktor persekutuan dari dan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 16.2.2.1.1
Faktorkan dari .
Langkah 16.2.2.1.2
Batalkan faktor persekutuan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 16.2.2.1.2.1
Faktorkan dari .
Langkah 16.2.2.1.2.2
Batalkan faktor persekutuan.
Langkah 16.2.2.1.2.3
Tulis kembali pernyataannya.
Langkah 16.2.2.2
Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.
Langkah 16.2.3
Jawaban akhirnya adalah .
Langkah 17
Ini adalah ekstrem lokal untuk .
adalah maksimum lokal
adalah minimum lokal
Langkah 18