Kalkulus Contoh

$f (x) = \sin^{2} (x) + \cos (x)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\sin^{2} (x) + \cos (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Langkah 1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = \sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Langkah 1.2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Langkah 1.2.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\sin (x)$ .

$2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Langkah 1.2.2

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Langkah 1.3

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x)$

Langkah 1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Susun kembali suku-suku.

$2 \cos (x) \sin (x) - \sin (x)$

Langkah 1.4.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.1

Susun kembali $2 \cos (x)$ dan $\sin (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x)) - \sin (x)$

Langkah 1.4.2.2

Susun kembali $\sin (x)$ dan $2$ .

$2 \cdot \sin (x) \cos (x) - \sin (x)$

Langkah 1.4.2.3

Terapkan identitas sudut ganda sinus.

$\sin (2 x) - \sin (x)$

Langkah 2

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\sin (2 x) - \sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\sin (2 x)) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $2 x$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

Langkah 2.2.1.2

Turunan dari $\sin (u)$ terhadap $u$ adalah $\cos (u)$ .

$f'' (x) = \cos (u) \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

Langkah 2.2.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x$ .

$f'' (x) = \cos (2 x) \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

Langkah 2.2.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

Langkah 2.2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = \cos (2 x) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

Langkah 2.2.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$f'' (x) = \cos (2 x) \cdot 2 + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

Langkah 2.2.5

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $\cos (2 x)$ .

$f'' (x) = 2 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \sin (x)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = 2 \cos (2 x) - \frac{d}{d x} \sin (x)$

Langkah 2.3.2

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$f'' (x) = 2 \cos (2 x) - \cos (x)$

Langkah 3

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$\sin (2 x) - \sin (x) = 0$

Langkah 4

Terapkan identitas sudut ganda sinus.

$2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x) = 0$

Langkah 5

Faktorkan $\sin (x)$ dari $2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Faktorkan $\sin (x)$ dari $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x)) - \sin (x) = 0$

Langkah 5.2

Faktorkan $\sin (x)$ dari $- \sin (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x)) + \sin (x) \cdot - 1 = 0$

Langkah 5.3

Faktorkan $\sin (x)$ dari $\sin (x) (2 \cos (x)) + \sin (x) \cdot - 1$ .

$\sin (x) (2 \cos (x) - 1) = 0$

Langkah 6

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$\sin (x) = 0$

$2 \cos (x) - 1 = 0$

Langkah 7

Atur $\sin (x)$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Atur $\sin (x)$ sama dengan $0$ .

$\sin (x) = 0$

Langkah 7.2

Selesaikan $\sin (x) = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Ambil sinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam sinus.

$x = \arcsin (0)$

Langkah 7.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1

Nilai eksak dari $\arcsin (0)$ adalah $0$ .

$x = 0$

Langkah 7.2.3

Fungsi sinus positif di kuadran pertama dan kedua. Untuk menemukan penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $π$ untuk menemukan penyelesaian di kuadran kedua.

$x = π - 0$

Langkah 7.2.4

Kurangi $0$ dengan $π$ .

$x = π$

Langkah 7.2.5

Penyelesaian untuk persamaan $x = 0$ .

$x = 0, π$

Langkah 8

Atur $2 \cos (x) - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Atur $2 \cos (x) - 1$ sama dengan $0$ .

$2 \cos (x) - 1 = 0$

Langkah 8.2

Selesaikan $2 \cos (x) - 1 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$2 \cos (x) = 1$

Langkah 8.2.2

Bagi setiap suku pada $2 \cos (x) = 1$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.1

Bagilah setiap suku di $2 \cos (x) = 1$ dengan $2$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Langkah 8.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Langkah 8.2.2.2.1.2

Bagilah $\cos (x)$ dengan $1$ .

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

Langkah 8.2.3

Ambil kosinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam kosinus.

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

Langkah 8.2.4

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.4.1

Nilai eksak dari $\arccos (\frac{1}{2})$ adalah $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Langkah 8.2.5

Fungsi kosinus positif pada kuadran pertama dan keempat. Untuk menghitung penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $2 π$ untuk menemukan penyelesaian pada kuadran keempat.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Langkah 8.2.6

Sederhanakan $2 π - \frac{π}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.6.1

Untuk menuliskan $2 π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Langkah 8.2.6.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.6.2.1

Gabungkan $2 π$ dan $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Langkah 8.2.6.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Langkah 8.2.6.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.6.3.1

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Langkah 8.2.6.3.2

Kurangi $π$ dengan $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Langkah 8.2.7

Penyelesaian untuk persamaan $x = \frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}, \frac{5 π}{3}$

Langkah 9

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $\sin (x) (2 \cos (x) - 1) = 0$ benar.

$x = 0, π, \frac{π}{3}, \frac{5 π}{3}$

Langkah 10

Evaluasi turunan kedua pada $x = 0$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$2 \cos (2 (0)) - \cos (0)$

Langkah 11

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1.1

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$2 \cos (0) - \cos (0)$

Langkah 11.1.2

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$2 \cdot 1 - \cos (0)$

Langkah 11.1.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2 - \cos (0)$

Langkah 11.1.4

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$2 - 1 \cdot 1$

Langkah 11.1.5

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$2 - 1$

Langkah 11.2

Kurangi $1$ dengan $2$ .

$1$

Langkah 12

$x = 0$ adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = 0$ adalah minimum lokal

Langkah 13

Tentukan nilai y ketika $x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f (0) = \sin^{2} (0) + \cos (0)$

Langkah 13.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.1.1

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$f (0) = 0^{2} + \cos (0)$

Langkah 13.2.1.2

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f (0) = 0 + \cos (0)$

Langkah 13.2.1.3

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$f (0) = 0 + 1$

Langkah 13.2.2

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$f (0) = 1$

Langkah 13.2.3

Jawaban akhirnya adalah $1$ .

$y = 1$

Langkah 14

Evaluasi turunan kedua pada $x = π$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$2 \cos (2 (π)) - \cos (π)$

Langkah 15

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1.1

Kurangi rotasi penuh dari $2 π$ sampai sudutnya lebih besar dari atau sama dengan $0$ dan lebih kecil dari $2 π$ .

$2 \cos (0) - \cos (π)$

Langkah 15.1.2

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$2 \cdot 1 - \cos (π)$

Langkah 15.1.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2 - \cos (π)$

Langkah 15.1.4

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran kedua.

$2 - - \cos (0)$

Langkah 15.1.5

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$2 - (- 1 \cdot 1)$

Langkah 15.1.6

Kalikan $- (- 1 \cdot 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$2 - - 1$

Langkah 15.1.6.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$2 + 1$

Langkah 15.2

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$3$

Langkah 16

$x = π$ adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = π$ adalah minimum lokal

Langkah 17

Tentukan nilai y ketika $x = π$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.1

Ganti variabel $x$ dengan $π$ pada pernyataan tersebut.

$f (π) = \sin^{2} (π) + \cos (π)$

Langkah 17.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.2.1.1

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama.

$f (π) = \sin^{2} (0) + \cos (π)$

Langkah 17.2.1.2

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$f (π) = 0^{2} + \cos (π)$

Langkah 17.2.1.3

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f (π) = 0 + \cos (π)$

Langkah 17.2.1.4

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran kedua.

$f (π) = 0 - \cos (0)$

Langkah 17.2.1.5

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$f (π) = 0 - 1 \cdot 1$

Langkah 17.2.1.6

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f (π) = 0 - 1$

Langkah 17.2.2

Kurangi $1$ dengan $0$ .

$f (π) = - 1$

Langkah 17.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 1$ .

$y = - 1$

Langkah 18

Evaluasi turunan kedua pada $x = \frac{π}{3}$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$2 \cos (2 (\frac{π}{3})) - \cos (\frac{π}{3})$

Langkah 19

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.1.1

Gabungkan $2$ dan $\frac{π}{3}$ .

$2 \cos (\frac{2 π}{3}) - \cos (\frac{π}{3})$

Langkah 19.1.2

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran kedua.

$2 (- \cos (\frac{π}{3})) - \cos (\frac{π}{3})$

Langkah 19.1.3

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{3})$ adalah $\frac{1}{2}$ .

$2 (- \frac{1}{2}) - \cos (\frac{π}{3})$

Langkah 19.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.1.4.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{2}$ ke dalam pembilangnya.

$2 (\frac{- 1}{2}) - \cos (\frac{π}{3})$

Langkah 19.1.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

$2 (\frac{- 1}{2}) - \cos (\frac{π}{3})$

Langkah 19.1.4.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- 1 - \cos (\frac{π}{3})$

Langkah 19.1.5

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{3})$ adalah $\frac{1}{2}$ .

$- 1 - \frac{1}{2}$

Langkah 19.2

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$- 1 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Langkah 19.3

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

Langkah 19.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{- 1 \cdot 2 - 1}{2}$

Langkah 19.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{- 2 - 1}{2}$

Langkah 19.5.2

Kurangi $1$ dengan $- 2$ .

$\frac{- 3}{2}$

Langkah 19.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{3}{2}$

Langkah 20

$x = \frac{π}{3}$ adalah maksimum lokal karena nilai dari turunan keduanya negatif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = \frac{π}{3}$ adalah maksimum lokal

Langkah 21

Tentukan nilai y ketika $x = \frac{π}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 21.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{π}{3}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\frac{π}{3}) = \sin^{2} (\frac{π}{3}) + \cos (\frac{π}{3})$

Langkah 21.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 21.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 21.2.1.1

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{3})$ adalah $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + \cos (\frac{π}{3})$

Langkah 21.2.1.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} + \cos (\frac{π}{3})$

Langkah 21.2.1.3

Tulis kembali ${\sqrt{3}}^{2}$ sebagai $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 21.2.1.3.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{3}$ sebagai $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + \cos (\frac{π}{3})$

Langkah 21.2.1.3.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + \cos (\frac{π}{3})$

Langkah 21.2.1.3.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + \cos (\frac{π}{3})$

Langkah 21.2.1.3.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 21.2.1.3.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + \cos (\frac{π}{3})$

Langkah 21.2.1.3.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3}{2^{2}} + \cos (\frac{π}{3})$

Langkah 21.2.1.3.5

Evaluasi eksponennya.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3}{2^{2}} + \cos (\frac{π}{3})$

Langkah 21.2.1.4

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3}{4} + \cos (\frac{π}{3})$

Langkah 21.2.1.5

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{3})$ adalah $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3}{4} + \frac{1}{2}$

Langkah 21.2.2

Untuk menuliskan $\frac{1}{2}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Langkah 21.2.3

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $4$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 21.2.3.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3}{4} + \frac{2}{2 \cdot 2}$

Langkah 21.2.3.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3}{4} + \frac{2}{4}$

Langkah 21.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3 + 2}{4}$

Langkah 21.2.5

Tambahkan $3$ dan $2$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{5}{4}$

Langkah 21.2.6

Jawaban akhirnya adalah $\frac{5}{4}$ .

$y = \frac{5}{4}$

Langkah 22

Evaluasi turunan kedua pada $x = \frac{5 π}{3}$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$2 \cos (2 (\frac{5 π}{3})) - \cos (\frac{5 π}{3})$

Langkah 23

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 23.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 23.1.1

Kalikan $2 (\frac{5 π}{3})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 23.1.1.1

Gabungkan $2$ dan $\frac{5 π}{3}$ .

$2 \cos (\frac{2 (5 π)}{3}) - \cos (\frac{5 π}{3})$

Langkah 23.1.1.2

Kalikan $5$ dengan $2$ .

$2 \cos (\frac{10 π}{3}) - \cos (\frac{5 π}{3})$

Langkah 23.1.2

Kurangi rotasi penuh dari $2 π$ sampai sudutnya lebih besar dari atau sama dengan $0$ dan lebih kecil dari $2 π$ .

$2 \cos (\frac{4 π}{3}) - \cos (\frac{5 π}{3})$

Langkah 23.1.3

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran ketiga.

$2 (- \cos (\frac{π}{3})) - \cos (\frac{5 π}{3})$

Langkah 23.1.4

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{3})$ adalah $\frac{1}{2}$ .

$2 (- \frac{1}{2}) - \cos (\frac{5 π}{3})$

Langkah 23.1.5

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 23.1.5.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{2}$ ke dalam pembilangnya.

$2 (\frac{- 1}{2}) - \cos (\frac{5 π}{3})$

Langkah 23.1.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

$2 (\frac{- 1}{2}) - \cos (\frac{5 π}{3})$

Langkah 23.1.5.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- 1 - \cos (\frac{5 π}{3})$

Langkah 23.1.6

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama.

$- 1 - \cos (\frac{π}{3})$

Langkah 23.1.7

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{3})$ adalah $\frac{1}{2}$ .

$- 1 - \frac{1}{2}$

Langkah 23.2

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$- 1 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Langkah 23.3

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

Langkah 23.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{- 1 \cdot 2 - 1}{2}$

Langkah 23.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 23.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{- 2 - 1}{2}$

Langkah 23.5.2

Kurangi $1$ dengan $- 2$ .

$\frac{- 3}{2}$

Langkah 23.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{3}{2}$

Langkah 24

$x = \frac{5 π}{3}$ adalah maksimum lokal karena nilai dari turunan keduanya negatif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = \frac{5 π}{3}$ adalah maksimum lokal

Langkah 25

Tentukan nilai y ketika $x = \frac{5 π}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 25.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{5 π}{3}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\frac{5 π}{3}) = \sin^{2} (\frac{5 π}{3}) + \cos (\frac{5 π}{3})$

Langkah 25.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 25.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 25.2.1.1

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena sinus negatif di kuadran keempat.

$f (\frac{5 π}{3}) = {(- \sin (\frac{π}{3}))}^{2} + \cos (\frac{5 π}{3})$

Langkah 25.2.1.2

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{3})$ adalah $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = {(- \frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + \cos (\frac{5 π}{3})$

Langkah 25.2.1.3

Gunakan kaidah pangkat ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ untuk menyebarkan pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 25.2.1.3.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = {(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + \cos (\frac{5 π}{3})$

Langkah 25.2.1.3.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = {(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}) + \cos (\frac{5 π}{3})$

Langkah 25.2.1.4

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = 1 (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}) + \cos (\frac{5 π}{3})$

Langkah 25.2.1.5

Kalikan $\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}$ dengan $1$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} + \cos (\frac{5 π}{3})$

Langkah 25.2.1.6

Tulis kembali ${\sqrt{3}}^{2}$ sebagai $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 25.2.1.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{3}$ sebagai $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + \cos (\frac{5 π}{3})$

Langkah 25.2.1.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + \cos (\frac{5 π}{3})$

Langkah 25.2.1.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + \cos (\frac{5 π}{3})$

Langkah 25.2.1.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 25.2.1.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + \cos (\frac{5 π}{3})$

Langkah 25.2.1.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3}{2^{2}} + \cos (\frac{5 π}{3})$

Langkah 25.2.1.6.5

Evaluasi eksponennya.

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3}{2^{2}} + \cos (\frac{5 π}{3})$

Langkah 25.2.1.7

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3}{4} + \cos (\frac{5 π}{3})$

Langkah 25.2.1.8

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama.

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3}{4} + \cos (\frac{π}{3})$

Langkah 25.2.1.9

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{3})$ adalah $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3}{4} + \frac{1}{2}$

Langkah 25.2.2

Untuk menuliskan $\frac{1}{2}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Langkah 25.2.3

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $4$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 25.2.3.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3}{4} + \frac{2}{2 \cdot 2}$

Langkah 25.2.3.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3}{4} + \frac{2}{4}$

Langkah 25.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3 + 2}{4}$

Langkah 25.2.5

Tambahkan $3$ dan $2$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{5}{4}$

Langkah 25.2.6

Jawaban akhirnya adalah $\frac{5}{4}$ .

$y = \frac{5}{4}$

Langkah 26

Ini adalah ekstrem lokal untuk $f (x) = \sin^{2} (x) + \cos (x)$ .

$(0, 1)$ adalah minimum lokal

$(π, - 1)$ adalah minimum lokal

$(\frac{π}{3}, \frac{5}{4})$ adalah maksimum lokal

$(\frac{5 π}{3}, \frac{5}{4})$ adalah maksimum lokal

Langkah 27