Kalkulus Contoh

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{{(x + h)}^{2}} - \frac{1}{x^{2}}}{h}$

Langkah 1

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Untuk menuliskan $\frac{1}{{(x + h)}^{2}}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{{(x + h)}^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}}{h}$

Langkah 1.2

Untuk menuliskan $- \frac{1}{x^{2}}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{{(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{{(x + h)}^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{{(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2}}}{h}$

Langkah 1.3

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari ${(x + h)}^{2} x^{2}$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Kalikan $\frac{1}{{(x + h)}^{2}}$ dengan $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2}}{{(x + h)}^{2} x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{{(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2}}}{h}$

Langkah 1.3.2

Kalikan $\frac{1}{x^{2}}$ dengan $\frac{{(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2}}{{(x + h)}^{2} x^{2}} - \frac{{(x + h)}^{2}}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Langkah 1.3.3

Susun kembali faktor-faktor dari ${(x + h)}^{2} x^{2}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2} {(x + h)}^{2}} - \frac{{(x + h)}^{2}}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Langkah 1.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} - {(x + h)}^{2}}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Langkah 2

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Sederhanakan penjelasan limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} - {(x + h)}^{2}}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

Langkah 2.1.2

Kalikan $\frac{x^{2} - {(x + h)}^{2}}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$ dengan $\frac{1}{h}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} - {(x + h)}^{2}}{x^{2} {(x + h)}^{2} h}$

Langkah 2.2

Pindahkan suku $\frac{1}{x^{2}}$ ke luar limit karena konstan terhadap $h$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{x^{2} - {(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2} h}$

Langkah 3

Terapkan aturan L'Hospital.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{lim_{h \to 0} x^{2} - {(x + h)}^{2}}{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} h}$

Langkah 3.1.2

Evaluasi limit dari pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $h$ mendekati $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{lim_{h \to 0} x^{2} - lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2}}{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} h}$

Langkah 3.1.2.1.2

Evaluasi limit dari $x^{2}$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2} - lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2}}{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} h}$

Langkah 3.1.2.1.3

Pindahkan pangkat $2$ dari ${(x + h)}^{2}$ di luar limit menggunakan Kaidah Pangkat Limit.

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2} - {(lim_{h \to 0} x + h)}^{2}}{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} h}$

Langkah 3.1.2.1.4

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $h$ mendekati $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2} - {(lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h)}^{2}}{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} h}$

Langkah 3.1.2.1.5

Evaluasi limit dari $x$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2} - {(x + lim_{h \to 0} h)}^{2}}{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} h}$

Langkah 3.1.2.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2} - {(x + 0)}^{2}}{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} h}$

Langkah 3.1.2.3

Gabungkan suku balikan dalam $x^{2} - {(x + 0)}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.3.1

Tambahkan $x$ dan $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2} - x^{2}}{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} h}$

Langkah 3.1.2.3.2

Kurangi $x^{2}$ dengan $x^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{0}{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} h}$

Langkah 3.1.3

Evaluasi limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Kali Limit pada limit ketika $h$ mendekati $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{0}{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} \cdot lim_{h \to 0} h}$

Langkah 3.1.3.2

Pindahkan pangkat $2$ dari ${(x + h)}^{2}$ di luar limit menggunakan Kaidah Pangkat Limit.

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{0}{{(lim_{h \to 0} x + h)}^{2} \cdot lim_{h \to 0} h}$

Langkah 3.1.3.3

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $h$ mendekati $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{0}{{(lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot lim_{h \to 0} h}$

Langkah 3.1.3.4

Evaluasi limit dari $x$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{0}{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot lim_{h \to 0} h}$

Langkah 3.1.3.5

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $0$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.5.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{0}{{(x + 0)}^{2} \cdot lim_{h \to 0} h}$

Langkah 3.1.3.5.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{0}{{(x + 0)}^{2} \cdot 0}$

Langkah 3.1.3.6

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.6.1

Tambahkan $x$ dan $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{0}{x^{2} \cdot 0}$

Langkah 3.1.3.6.2

Kalikan $x^{2}$ dengan $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{0}{0}$

Langkah 3.1.3.6.3

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{0}{0}$

Langkah 3.1.3.7

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{0}{0}$

Langkah 3.1.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{0}{0}$

Langkah 3.2

Karena $\frac{0}{0}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} - {(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2} h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x^{2} - {(x + h)}^{2}]}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

Langkah 3.3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x^{2} - {(x + h)}^{2}]}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

Langkah 3.3.2

Tulis kembali ${(x + h)}^{2}$ sebagai $(x + h) (x + h)$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x^{2} - (x + h) (x + h)]}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

Langkah 3.3.3

Perluas $(x + h) (x + h)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x^{2} - (x (x + h) + h (x + h))]}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

Langkah 3.3.3.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x^{2} - (x \cdot x + x h + h (x + h))]}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

Langkah 3.3.3.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x^{2} - (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h)]}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

Langkah 3.3.4

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.4.1.1

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x^{2} - (x^{2} + x h + h x + h \cdot h)]}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

Langkah 3.3.4.1.2

Kalikan $h$ dengan $h$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x^{2} - (x^{2} + x h + h x + h^{2})]}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

Langkah 3.3.4.2

Tambahkan $x h$ dan $h x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.4.2.1

Susun kembali $x$ dan $h$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x^{2} - (x^{2} + h x + h x + h^{2})]}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

Langkah 3.3.4.2.2

Tambahkan $h x$ dan $h x$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x^{2} - (x^{2} + 2 h x + h^{2})]}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

Langkah 3.3.5

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} - (x^{2} + 2 h x + h^{2})$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d h} [x^{2}] + \frac{d}{d h} [- (x^{2} + 2 h x + h^{2})]$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x^{2}] + \frac{d}{d h} [- (x^{2} + 2 h x + h^{2})]}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

Langkah 3.3.6

Karena $x^{2}$ konstan terhadap $h$ , turunan dari $x^{2}$ terhadap $h$ adalah $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d h} [- (x^{2} + 2 h x + h^{2})]}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

Langkah 3.3.7

Evaluasi $\frac{d}{d h} [- (x^{2} + 2 h x + h^{2})]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.7.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $h$ , turunan dari $- (x^{2} + 2 h x + h^{2})$ terhadap $h$ adalah $- \frac{d}{d h} [x^{2} + 2 h x + h^{2}]$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d h} [x^{2} + 2 h x + h^{2}]}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

Langkah 3.3.7.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 2 h x + h^{2}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d h} [x^{2}] + \frac{d}{d h} [2 h x] + \frac{d}{d h} [h^{2}]$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{d}{d h} [x^{2}] + \frac{d}{d h} [2 h x] + \frac{d}{d h} [h^{2}])}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

Langkah 3.3.7.3

Karena $x^{2}$ konstan terhadap $h$ , turunan dari $x^{2}$ terhadap $h$ adalah $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{0 - (0 + \frac{d}{d h} [2 h x] + \frac{d}{d h} [h^{2}])}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

Langkah 3.3.7.4

Karena $2 x$ konstan terhadap $h$ , turunan dari $2 h x$ terhadap $h$ adalah $2 x \frac{d}{d h} [h]$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{0 - (0 + 2 x \frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [h^{2}])}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

Langkah 3.3.7.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ adalah $n h^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{0 - (0 + 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d h} [h^{2}])}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

Langkah 3.3.7.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ adalah $n h^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{0 - (0 + 2 x \cdot 1 + 2 h)}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

Langkah 3.3.7.7

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{0 - (0 + 2 x + 2 h)}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

Langkah 3.3.7.8

Tambahkan $0$ dan $2 x$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{0 - (2 x + 2 h)}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

Langkah 3.3.8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.8.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{0 - 1 \cdot 2 x - 1 \cdot 2 h}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

Langkah 3.3.8.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.8.2.1

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{0 - 2 x - 1 \cdot 2 h}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

Langkah 3.3.8.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{0 - 2 x - 2 h}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

Langkah 3.3.8.2.3

Kurangi $- (- 2 x - 2 h)$ dengan $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 x - 2 h}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

Langkah 3.3.8.3

Susun kembali suku-suku.

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

Langkah 3.3.9

Tulis kembali ${(x + h)}^{2}$ sebagai $(x + h) (x + h)$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{\frac{d}{d h} [(x + h) (x + h) h]}$

Langkah 3.3.10

Perluas $(x + h) (x + h)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.10.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{\frac{d}{d h} [(x (x + h) + h (x + h)) h]}$

Langkah 3.3.10.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{\frac{d}{d h} [(x \cdot x + x h + h (x + h)) h]}$

Langkah 3.3.10.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{\frac{d}{d h} [(x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) h]}$

Langkah 3.3.11

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.11.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.11.1.1

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{\frac{d}{d h} [(x^{2} + x h + h x + h \cdot h) h]}$

Langkah 3.3.11.1.2

Kalikan $h$ dengan $h$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{\frac{d}{d h} [(x^{2} + x h + h x + h^{2}) h]}$

Langkah 3.3.11.2

Tambahkan $x h$ dan $h x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.11.2.1

Susun kembali $x$ dan $h$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{\frac{d}{d h} [(x^{2} + h x + h x + h^{2}) h]}$

Langkah 3.3.11.2.2

Tambahkan $h x$ dan $h x$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{\frac{d}{d h} [(x^{2} + 2 h x + h^{2}) h]}$

Langkah 3.3.12

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d h} [f (h) g (h)]$ adalah $f (h) \frac{d}{d h} [g (h)] + g (h) \frac{d}{d h} [f (h)]$ di mana $f (h) = x^{2} + 2 h x + h^{2}$ dan $g (h) = h$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{(x^{2} + 2 h x + h^{2}) \frac{d}{d h} [h] + h \frac{d}{d h} [x^{2} + 2 h x + h^{2}]}$

Langkah 3.3.13

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ adalah $n h^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{(x^{2} + 2 h x + h^{2}) \cdot 1 + h \frac{d}{d h} [x^{2} + 2 h x + h^{2}]}$

Langkah 3.3.14

Kalikan $x^{2} + 2 h x + h^{2}$ dengan $1$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + h \frac{d}{d h} [x^{2} + 2 h x + h^{2}]}$

Langkah 3.3.15

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 2 h x + h^{2}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d h} [x^{2}] + \frac{d}{d h} [2 h x] + \frac{d}{d h} [h^{2}]$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + h (\frac{d}{d h} [x^{2}] + \frac{d}{d h} [2 h x] + \frac{d}{d h} [h^{2}])}$

Langkah 3.3.16

Karena $x^{2}$ konstan terhadap $h$ , turunan dari $x^{2}$ terhadap $h$ adalah $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + h (0 + \frac{d}{d h} [2 h x] + \frac{d}{d h} [h^{2}])}$

Langkah 3.3.17

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d h} [2 h x]$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + h (\frac{d}{d h} [2 h x] + \frac{d}{d h} [h^{2}])}$

Langkah 3.3.18

Karena $2 x$ konstan terhadap $h$ , turunan dari $2 h x$ terhadap $h$ adalah $2 x \frac{d}{d h} [h]$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + h (2 x \frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [h^{2}])}$

Langkah 3.3.19

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ adalah $n h^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + h (2 x \cdot 1 + \frac{d}{d h} [h^{2}])}$

Langkah 3.3.20

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + h (2 x + \frac{d}{d h} [h^{2}])}$

Langkah 3.3.21

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ adalah $n h^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + h (2 x + 2 h)}$

Langkah 3.3.22

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.22.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + h \cdot 2 x + h \cdot 2 h}$

Langkah 3.3.22.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.22.2.1

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $h$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2 \cdot h x + h \cdot 2 h}$

Langkah 3.3.22.2.2

Naikkan $h$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2 h x + 2 h^{1} h}$

Langkah 3.3.22.2.3

Naikkan $h$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2 h x + 2 h^{1} h^{1}}$

Langkah 3.3.22.2.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2 h x + 2 h^{1 + 1}}$

Langkah 3.3.22.2.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2 h x + 2 h^{2}}$

Langkah 3.3.22.2.6

Tambahkan $2 h x$ dan $2 h x$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{x^{2} + h^{2} + 4 h x + 2 h^{2}}$

Langkah 3.3.22.2.7

Tambahkan $h^{2}$ dan $2 h^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{x^{2} + 3 h^{2} + 4 h x}$

Langkah 3.3.22.3

Susun kembali suku-suku.

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{3 h^{2} + x^{2} + 4 h x}$

Langkah 4

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Bagi Limit pada limitnya ketika $h$ mendekati $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{lim_{h \to 0} - 2 h - 2 x}{lim_{h \to 0} 3 h^{2} + x^{2} + 4 h x}$

Langkah 4.2

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $h$ mendekati $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{- lim_{h \to 0} 2 h - lim_{h \to 0} 2 x}{lim_{h \to 0} 3 h^{2} + x^{2} + 4 h x}$

Langkah 4.3

Pindahkan suku $2$ ke luar limit karena konstan terhadap $h$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{- 2 lim_{h \to 0} h - lim_{h \to 0} 2 x}{lim_{h \to 0} 3 h^{2} + x^{2} + 4 h x}$

Langkah 4.4

Evaluasi limit dari $2 x$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{- 2 lim_{h \to 0} h - 2 x}{lim_{h \to 0} 3 h^{2} + x^{2} + 4 h x}$

Langkah 4.5

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $h$ mendekati $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{- 2 lim_{h \to 0} h - 2 x}{lim_{h \to 0} 3 h^{2} + lim_{h \to 0} x^{2} + lim_{h \to 0} 4 h x}$

Langkah 4.6

Pindahkan suku $3$ ke luar limit karena konstan terhadap $h$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{- 2 lim_{h \to 0} h - 2 x}{3 lim_{h \to 0} h^{2} + lim_{h \to 0} x^{2} + lim_{h \to 0} 4 h x}$

Langkah 4.7

Pindahkan pangkat $2$ dari $h^{2}$ di luar limit menggunakan Kaidah Pangkat Limit.

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{- 2 lim_{h \to 0} h - 2 x}{3 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + lim_{h \to 0} x^{2} + lim_{h \to 0} 4 h x}$

Langkah 4.8

Evaluasi limit dari $x^{2}$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{- 2 lim_{h \to 0} h - 2 x}{3 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + x^{2} + lim_{h \to 0} 4 h x}$

Langkah 4.9

Pindahkan suku $4 x$ ke luar limit karena konstan terhadap $h$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{- 2 lim_{h \to 0} h - 2 x}{3 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + x^{2} + 4 x lim_{h \to 0} h}$

Langkah 5

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $0$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{- 2 \cdot 0 - 2 x}{3 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + x^{2} + 4 x lim_{h \to 0} h}$

Langkah 5.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{- 2 \cdot 0 - 2 x}{3 \cdot 0^{2} + x^{2} + 4 x lim_{h \to 0} h}$

Langkah 5.3

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{- 2 \cdot 0 - 2 x}{3 \cdot 0^{2} + x^{2} + 4 x \cdot 0}$

Langkah 6

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Kalikan $- 2$ dengan $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{0 - 2 x}{3 \cdot 0^{2} + x^{2} + 4 x \cdot 0}$

Langkah 6.1.2

Kurangi $2 x$ dengan $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{- 2 x}{3 \cdot 0^{2} + x^{2} + 4 x \cdot 0}$

Langkah 6.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{- 2 x}{3 \cdot 0 + x^{2} + 4 x \cdot 0}$

Langkah 6.2.2

Kalikan $3$ dengan $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{- 2 x}{0 + x^{2} + 4 x \cdot 0}$

Langkah 6.2.3

Kalikan $4 x \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.1

Kalikan $0$ dengan $4$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{- 2 x}{0 + x^{2} + 0 x}$

Langkah 6.2.3.2

Kalikan $0$ dengan $x$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{- 2 x}{0 + x^{2} + 0}$

Langkah 6.2.4

Tambahkan $0 + x^{2}$ dan $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{- 2 x}{0 + x^{2}}$

Langkah 6.2.5

Tambahkan $0$ dan $x^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{- 2 x}{x^{2}}$

Langkah 6.3

Gabungkan.

$\frac{1 (- 2 x)}{x^{2} x^{2}}$

Langkah 6.4

Kalikan $x^{2}$ dengan $x^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{1 (- 2 x)}{x^{2 + 2}}$

Langkah 6.4.2

Tambahkan $2$ dan $2$ .

$\frac{1 (- 2 x)}{x^{4}}$

Langkah 6.5

Kalikan $- 2 x$ dengan $1$ .

$\frac{- 2 x}{x^{4}}$

Langkah 6.6

Hapus faktor persekutuan dari $x$ dan $x^{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.6.1

Faktorkan $x$ dari $- 2 x$ .

$\frac{x \cdot - 2}{x^{4}}$

Langkah 6.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.6.2.1

Faktorkan $x$ dari $x^{4}$ .

$\frac{x \cdot - 2}{x \cdot x^{3}}$

Langkah 6.6.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x \cdot - 2}{x \cdot x^{3}}$

Langkah 6.6.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- 2}{x^{3}}$

Langkah 6.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{2}{x^{3}}$