Kalkulus Contoh

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{\sin (3 x)}$

Langkah 1

Kalikan pembilang dan penyebut dengan $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x) \cdot (3 x)}{\sin (3 x) \cdot (3 x)}$

Langkah 2

Kalikan pembilang dan penyebut dengan $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x) \cdot (3 x) \cdot (2 x)}{2 x \cdot \sin (3 x) \cdot (3 x)}$

Langkah 3

Pisahkan pecahan.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{2 x} \cdot \frac{3 x}{\sin (3 x)} \cdot \frac{2 x}{3 x}$

Langkah 4

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Kali Limit pada limit ketika $x$ mendekati $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{2 x} \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{\sin (3 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Langkah 5

Limit dari $\frac{\sin (2 x)}{2 x}$ ketika $x$ mendekati $0$ adalah $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}{lim_{x \to 0} 2 x} \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{\sin (3 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Langkah 5.1.2

Evaluasi limit dari pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.2.1

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.2.1.1

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena sinus kontinu.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} 2 x)}{lim_{x \to 0} 2 x} \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{\sin (3 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Langkah 5.1.2.1.2

Pindahkan suku $2$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{\sin (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 2 x} \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{\sin (3 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Langkah 5.1.2.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{\sin (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 2 x} \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{\sin (3 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Langkah 5.1.2.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.2.3.1

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} 2 x} \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{\sin (3 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Langkah 5.1.2.3.2

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 2 x} \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{\sin (3 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Langkah 5.1.3

Evaluasi limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.3.1

Pindahkan suku $2$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{0}{2 lim_{x \to 0} x} \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{\sin (3 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Langkah 5.1.3.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0}{2 \cdot 0} \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{\sin (3 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Langkah 5.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$\frac{0}{0} \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{\sin (3 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Langkah 5.1.3.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0} \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{\sin (3 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Langkah 5.1.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0} \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{\sin (3 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Langkah 5.2

Karena $\frac{0}{0}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{2 x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [2 x]}$

Langkah 5.3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [2 x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{\sin (3 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Langkah 5.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [2 x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{\sin (3 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Langkah 5.3.2.2

Turunan dari $\sin (u)$ terhadap $u$ adalah $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [2 x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{\sin (3 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Langkah 5.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [2 x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{\sin (3 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Langkah 5.3.3

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [2 x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{\sin (3 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Langkah 5.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) (2 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [2 x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{\sin (3 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Langkah 5.3.5

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) \cdot 2}{\frac{d}{d x} [2 x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{\sin (3 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Langkah 5.3.6

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $\cos (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot \cos (2 x)}{\frac{d}{d x} [2 x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{\sin (3 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Langkah 5.3.7

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{2 \frac{d}{d x} [x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{\sin (3 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Langkah 5.3.8

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{2 \cdot 1} \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{\sin (3 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Langkah 5.3.9

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{2} \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{\sin (3 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Langkah 5.4

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{2} \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{\sin (3 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Langkah 5.4.1.2

Bagilah $\cos (2 x)$ dengan $1$ .

$lim_{x \to 0} \cos (2 x) \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{\sin (3 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Langkah 5.4.2

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena kosinus kontinu.

$\cos (lim_{x \to 0} 2 x) \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{\sin (3 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Langkah 5.4.3

Pindahkan suku $2$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\cos (2 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{\sin (3 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Langkah 5.5

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\cos (2 \cdot 0) \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{\sin (3 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Langkah 5.6

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$\cos (0) \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{\sin (3 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Langkah 5.6.2

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{\sin (3 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Langkah 6

Limit dari $\frac{3 x}{\sin (3 x)}$ ketika $x$ mendekati $0$ adalah $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$1 \cdot \frac{lim_{x \to 0} 3 x}{lim_{x \to 0} \sin (3 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Langkah 6.1.2

Evaluasi limit dari pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.2.1

Pindahkan suku $3$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$1 \cdot \frac{3 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \sin (3 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Langkah 6.1.2.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$1 \cdot \frac{3 \cdot 0}{lim_{x \to 0} \sin (3 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Langkah 6.1.2.3

Kalikan $3$ dengan $0$ .

$1 \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (3 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Langkah 6.1.3

Evaluasi limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.3.1

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.3.1.1

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena sinus kontinu.

$1 \cdot \frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} 3 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Langkah 6.1.3.1.2

Pindahkan suku $3$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$1 \cdot \frac{0}{\sin (3 lim_{x \to 0} x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Langkah 6.1.3.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$1 \cdot \frac{0}{\sin (3 \cdot 0)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Langkah 6.1.3.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.3.3.1

Kalikan $3$ dengan $0$ .

$1 \cdot \frac{0}{\sin (0)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Langkah 6.1.3.3.2

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$1 \cdot \frac{0}{0} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Langkah 6.1.3.3.3

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$1 \cdot \frac{0}{0} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Langkah 6.1.3.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$1 \cdot \frac{0}{0} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Langkah 6.1.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$1 \cdot \frac{0}{0} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Langkah 6.2

Karena $\frac{0}{0}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to 0} \frac{3 x}{\sin (3 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

Langkah 6.3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (3 x)]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Langkah 6.3.2

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (3 x)]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Langkah 6.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\sin (3 x)]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Langkah 6.3.4

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{3}{\frac{d}{d x} [\sin (3 x)]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Langkah 6.3.5

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = 3 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.5.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $3 x$ .

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{3}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [3 x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Langkah 6.3.5.2

Turunan dari $\sin (u)$ terhadap $u$ adalah $\cos (u)$ .

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{3}{\cos (u) \frac{d}{d x} [3 x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Langkah 6.3.5.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $3 x$ .

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{3}{\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Langkah 6.3.6

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{3}{\cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Langkah 6.3.7

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{3}{\cos (3 x) (3 \cdot 1)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Langkah 6.3.8

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{3}{\cos (3 x) \cdot 3} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Langkah 6.3.9

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $\cos (3 x)$ .

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{3}{3 \cos (3 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Langkah 6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{3}{3 \cos (3 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Langkah 6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos (3 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Langkah 6.5

Konversikan dari $\frac{1}{\cos (3 x)}$ ke $\sec (3 x)$ .

$1 \cdot lim_{x \to 0} \sec (3 x) \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Langkah 6.6

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.6.1

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena sekan kontinu.

$1 \cdot \sec (lim_{x \to 0} 3 x) \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Langkah 6.6.2

Pindahkan suku $3$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$1 \cdot \sec (3 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Langkah 6.7

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$1 \cdot \sec (3 \cdot 0) \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Langkah 6.8

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.8.1

Kalikan $3$ dengan $0$ .

$1 \cdot \sec (0) \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Langkah 6.8.2

Nilai eksak dari $\sec (0)$ adalah $1$ .

$1 \cdot 1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Langkah 7

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Batalkan faktor persekutuan.

$1 \cdot 1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Langkah 7.2

Tulis kembali pernyataannya.

$1 \cdot 1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{2}{3}$

Langkah 8

Evaluasi limit dari $\frac{2}{3}$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $0$ .

$1 \cdot 1 \cdot \frac{2}{3}$

Langkah 9

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Kalikan $1$ dengan $1$ .

$1 \cdot \frac{2}{3}$

Langkah 9.2

Kalikan $\frac{2}{3}$ dengan $1$ .

$\frac{2}{3}$

Langkah 10

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{2}{3}$

Bentuk Desimal:

$0.\overline{6}$