Kalkulus Contoh

$x^{3} + x^{2} y + 4 y^{2} = 6$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (x^{3} + x^{2} y + 4 y^{2}) = \frac{d}{d x} (6)$

Langkah 2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{3} + x^{2} y + 4 y^{2}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

Langkah 2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = y$ .

$3 x^{2} + x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

Langkah 2.2.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$3 x^{2} + x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

Langkah 2.2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$3 x^{2} + x^{2} y' + y (2 x) + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

Langkah 2.2.4

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $y$ .

$3 x^{2} + x^{2} y' + 2 y x + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [4 y^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 y^{2}$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$3 x^{2} + x^{2} y' + 2 y x + 4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$3 x^{2} + x^{2} y' + 2 y x + 4 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 2.3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$3 x^{2} + x^{2} y' + 2 y x + 4 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 2.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$3 x^{2} + x^{2} y' + 2 y x + 4 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 2.3.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$3 x^{2} + x^{2} y' + 2 y x + 4 (2 y y')$

Langkah 2.3.4

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$3 x^{2} + x^{2} y' + 2 y x + 8 y y'$

Langkah 2.4

Susun kembali suku-suku.

$3 x^{2} + x^{2} y' + 2 x y + 8 y y'$

Langkah 3

Karena $6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $6$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$3 x^{2} + x^{2} y' + 2 x y + 8 y y' = 0$

Langkah 5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y'$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Kurangkan $3 x^{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x^{2} y' + 2 x y + 8 y y' = - 3 x^{2}$

Langkah 5.1.2

Kurangkan $2 x y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x^{2} y' + 8 y y' = - 3 x^{2} - 2 x y$

Langkah 5.2

Faktorkan $y'$ dari $x^{2} y' + 8 y y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Faktorkan $y'$ dari $x^{2} y'$ .

$y' x^{2} + 8 y y' = - 3 x^{2} - 2 x y$

Langkah 5.2.2

Faktorkan $y'$ dari $8 y y'$ .

$y' (x^{2}) + y' (8 y) = - 3 x^{2} - 2 x y$

Langkah 5.2.3

Faktorkan $y'$ dari $y' (x^{2}) + y' (8 y)$ .

$y' (x^{2} + 8 y) = - 3 x^{2} - 2 x y$

Langkah 5.3

Bagi setiap suku pada $y' (x^{2} + 8 y) = - 3 x^{2} - 2 x y$ dengan $x^{2} + 8 y$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Bagilah setiap suku di $y' (x^{2} + 8 y) = - 3 x^{2} - 2 x y$ dengan $x^{2} + 8 y$ .

$\frac{y' (x^{2} + 8 y)}{x^{2} + 8 y} = \frac{- 3 x^{2}}{x^{2} + 8 y} + \frac{- 2 x y}{x^{2} + 8 y}$

Langkah 5.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2} + 8 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (x^{2} + 8 y)}{x^{2} + 8 y} = \frac{- 3 x^{2}}{x^{2} + 8 y} + \frac{- 2 x y}{x^{2} + 8 y}$

Langkah 5.3.2.1.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{x^{2} + 8 y} + \frac{- 2 x y}{x^{2} + 8 y}$

Langkah 5.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y' = \frac{- 3 x^{2} - 2 x y}{x^{2} + 8 y}$

Langkah 5.3.3.2

Faktorkan $x$ dari $- 3 x^{2} - 2 x y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.2.1

Faktorkan $x$ dari $- 3 x^{2}$ .

$y' = \frac{x (- 3 x) - 2 x y}{x^{2} + 8 y}$

Langkah 5.3.3.2.2

Faktorkan $x$ dari $- 2 x y$ .

$y' = \frac{x (- 3 x) + x (- 2 y)}{x^{2} + 8 y}$

Langkah 5.3.3.2.3

Faktorkan $x$ dari $x (- 3 x) + x (- 2 y)$ .

$y' = \frac{x (- 3 x - 2 y)}{x^{2} + 8 y}$

Langkah 5.3.3.3

Faktorkan $- 1$ dari $- 3 x$ .

$y' = \frac{x (- (3 x) - 2 y)}{x^{2} + 8 y}$

Langkah 5.3.3.4

Faktorkan $- 1$ dari $- 2 y$ .

$y' = \frac{x (- (3 x) - (2 y))}{x^{2} + 8 y}$

Langkah 5.3.3.5

Faktorkan $- 1$ dari $- (3 x) - (2 y)$ .

$y' = \frac{x (- (3 x + 2 y))}{x^{2} + 8 y}$

Langkah 5.3.3.6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.6.1

Tulis kembali $- (3 x + 2 y)$ sebagai $- 1 (3 x + 2 y)$ .

$y' = \frac{x (- 1 (3 x + 2 y))}{x^{2} + 8 y}$

Langkah 5.3.3.6.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{x (3 x + 2 y)}{x^{2} + 8 y}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x (3 x + 2 y)}{x^{2} + 8 y}$