Kalkulus Contoh

$x y = \cot (x y)$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (x y) = \frac{d}{d x} (\cot (x y))$

Langkah 2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1$

Langkah 2.4

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$x y' + y$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \cot (x)$ dan $g (x) = x y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x y$ .

$\frac{d}{d u} [\cot (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

Langkah 3.1.2

Turunan dari $\cot (u)$ terhadap $u$ adalah $- \csc^{2} (u)$ .

$- \csc^{2} (u) \frac{d}{d x} [x y]$

Langkah 3.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x y$ .

$- \csc^{2} (x y) \frac{d}{d x} [x y]$

Langkah 3.2

$- \csc^{2} (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 3.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$- \csc^{2} (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- \csc^{2} (x y) (x y' + y \cdot 1)$

Langkah 3.5

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$- \csc^{2} (x y) (x y' + y)$

Langkah 3.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Terapkan sifat distributif.

$- \csc^{2} (x y) (x y') - \csc^{2} (x y) y$

Langkah 3.6.2

Susun kembali suku-suku.

$- x \csc^{2} (x y) y' - y \csc^{2} (x y)$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$x y' + y = - x \csc^{2} (x y) y' - y \csc^{2} (x y)$

Langkah 5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Susun kembali faktor-faktor dalam $- x \csc^{2} (x y) y' - y \csc^{2} (x y)$ .

$x y' + y = - x y' \csc^{2} (x y) - y \csc^{2} (x y)$

Langkah 5.2

Tambahkan $x y' \csc^{2} (x y)$ ke kedua sisi persamaan.

$x y' + y + x y' \csc^{2} (x y) = - y \csc^{2} (x y)$

Langkah 5.3

Kurangkan $y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x y' + x y' \csc^{2} (x y) = - y \csc^{2} (x y) - y$

Langkah 5.4

Faktorkan $x y'$ dari $x y' + x y' \csc^{2} (x y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Faktorkan $x y'$ dari $x y'$ .

$x y' \cdot 1 + x y' \csc^{2} (x y) = - y \csc^{2} (x y) - y$

Langkah 5.4.2

Faktorkan $x y'$ dari $x y' \csc^{2} (x y)$ .

$x y' \cdot 1 + x y' \csc^{2} (x y) = - y \csc^{2} (x y) - y$

Langkah 5.4.3

Faktorkan $x y'$ dari $x y' \cdot 1 + x y' \csc^{2} (x y)$ .

$x y' (1 + \csc^{2} (x y)) = - y \csc^{2} (x y) - y$

Langkah 5.5

Bagi setiap suku pada $x y' (1 + \csc^{2} (x y)) = - y \csc^{2} (x y) - y$ dengan $x (1 + \csc^{2} (x y))$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Bagilah setiap suku di $x y' (1 + \csc^{2} (x y)) = - y \csc^{2} (x y) - y$ dengan $x (1 + \csc^{2} (x y))$ .

$\frac{x y' (1 + \csc^{2} (x y))}{x (1 + \csc^{2} (x y))} = \frac{- y \csc^{2} (x y)}{x (1 + \csc^{2} (x y))} + \frac{- y}{x (1 + \csc^{2} (x y))}$

Langkah 5.5.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x y' (1 + \csc^{2} (x y))}{x (1 + \csc^{2} (x y))} = \frac{- y \csc^{2} (x y)}{x (1 + \csc^{2} (x y))} + \frac{- y}{x (1 + \csc^{2} (x y))}$

Langkah 5.5.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y' (1 + \csc^{2} (x y))}{1 + \csc^{2} (x y)} = \frac{- y \csc^{2} (x y)}{x (1 + \csc^{2} (x y))} + \frac{- y}{x (1 + \csc^{2} (x y))}$

Langkah 5.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $1 + \csc^{2} (x y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (1 + \csc^{2} (x y))}{1 + \csc^{2} (x y)} = \frac{- y \csc^{2} (x y)}{x (1 + \csc^{2} (x y))} + \frac{- y}{x (1 + \csc^{2} (x y))}$

Langkah 5.5.2.2.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{- y \csc^{2} (x y)}{x (1 + \csc^{2} (x y))} + \frac{- y}{x (1 + \csc^{2} (x y))}$

Langkah 5.5.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.3.1.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{y \csc^{2} (x y)}{x (1 + \csc^{2} (x y))} + \frac{- y}{x (1 + \csc^{2} (x y))}$

Langkah 5.5.3.1.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{y \csc^{2} (x y)}{x (1 + \csc^{2} (x y))} - \frac{y}{x (1 + \csc^{2} (x y))}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y \csc^{2} (x y)}{x (1 + \csc^{2} (x y))} - \frac{y}{x (1 + \csc^{2} (x y))}$