Kalkulus Contoh

$f (x) = e^{- x} \sqrt{x}$

Langkah 1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{- x} x^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = e^{- x}$ dan $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

$e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Langkah 3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Langkah 4

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Langkah 5

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Langkah 6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Langkah 7

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Langkah 7.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Langkah 8

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$e^{- x} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Langkah 8.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$e^{- x} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Langkah 8.3

Gabungkan $e^{- x}$ dan $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{e^{- x} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Langkah 8.4

Pindahkan $x^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Langkah 9

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = - x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $- x$ .

$\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])$

Langkah 9.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (e^{u} \frac{d}{d x} [- x])$

Langkah 9.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- x$ .

$\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Langkah 10

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

Langkah 10.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

Langkah 10.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} \cdot - 1)$

Langkah 10.3.2

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot e^{- x})$

Langkah 10.3.3

Tulis kembali $- 1 e^{- x}$ sebagai $- e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})$

Langkah 10.3.4

Susun kembali suku-suku.

$- e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$