Kalkulus Contoh

${(x^{2} + y^{2})}^{2} = 4 x^{2} y$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} ({(x^{2} + y^{2})}^{2}) = \frac{d}{d x} (4 x^{2} y)$

Langkah 2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = x^{2} + y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Langkah 2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ adalah $n {u_{1}}^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Langkah 2.1.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $x^{2} + y^{2}$ .

$2 (x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Langkah 2.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + y^{2}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$2 (x^{2} + y^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 (x^{2} + y^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Langkah 2.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $y$ .

$2 (x^{2} + y^{2}) (2 x + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ adalah $n {u_{2}}^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 2.3.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $y$ .

$2 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 2.4

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$2 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 y y')$

Langkah 2.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Terapkan sifat distributif.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) (2 x + 2 y y')$

Langkah 2.5.2

Susun kembali faktor-faktor dari $(2 x^{2} + 2 y^{2}) (2 x + 2 y y')$ .

$(2 x + 2 y y') (2 x^{2} + 2 y^{2})$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 x^{2} y$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = y$ .

$4 (x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 3.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$4 (x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$4 (x^{2} y' + y (2 x))$

Langkah 3.5

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $y$ .

$4 (x^{2} y' + 2 \cdot y x)$

Langkah 3.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Terapkan sifat distributif.

$4 (x^{2} y') + 4 (2 y x)$

Langkah 3.6.2

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$4 x^{2} y' + 8 y x$

Langkah 3.6.3

Susun kembali suku-suku.

$4 x^{2} y' + 8 x y$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$(2 x + 2 y y') (2 x^{2} + 2 y^{2}) = 4 x^{2} y' + 8 x y$

Langkah 5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Sederhanakan $(2 x + 2 y y') (2 x^{2} + 2 y^{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Tulis kembali.

$0 + 0 + (2 x + 2 y y') (2 x^{2} + 2 y^{2}) = 4 x^{2} y' + 8 x y$

Langkah 5.1.2

Sederhanakan dengan menambahkan nol.

$(2 x + 2 y y') (2 x^{2} + 2 y^{2}) = 4 x^{2} y' + 8 x y$

Langkah 5.1.3

Perluas $(2 x + 2 y y') (2 x^{2} + 2 y^{2})$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.3.1

Terapkan sifat distributif.

$2 x (2 x^{2} + 2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2} + 2 y^{2}) = 4 x^{2} y' + 8 x y$

Langkah 5.1.3.2

Terapkan sifat distributif.

$2 x (2 x^{2}) + 2 x (2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2} + 2 y^{2}) = 4 x^{2} y' + 8 x y$

Langkah 5.1.3.3

Terapkan sifat distributif.

$2 x (2 x^{2}) + 2 x (2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = 4 x^{2} y' + 8 x y$

Langkah 5.1.4

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.4.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$2 \cdot 2 x \cdot x^{2} + 2 x (2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = 4 x^{2} y' + 8 x y$

Langkah 5.1.4.2

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.4.2.1

Pindahkan $x^{2}$ .

$2 \cdot 2 (x^{2} x) + 2 x (2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = 4 x^{2} y' + 8 x y$

Langkah 5.1.4.2.2

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.4.2.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$2 \cdot 2 (x^{2} x^{1}) + 2 x (2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = 4 x^{2} y' + 8 x y$

Langkah 5.1.4.2.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$2 \cdot 2 x^{2 + 1} + 2 x (2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = 4 x^{2} y' + 8 x y$

Langkah 5.1.4.2.3

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$2 \cdot 2 x^{3} + 2 x (2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = 4 x^{2} y' + 8 x y$

Langkah 5.1.4.3

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$4 x^{3} + 2 x (2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = 4 x^{2} y' + 8 x y$

Langkah 5.1.4.4

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$4 x^{3} + 2 \cdot 2 x y^{2} + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = 4 x^{2} y' + 8 x y$

Langkah 5.1.4.5

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$4 x^{3} + 4 x y^{2} + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = 4 x^{2} y' + 8 x y$

Langkah 5.1.4.6

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$4 x^{3} + 4 x y^{2} + 4 y y' x^{2} + 2 y y' (2 y^{2}) = 4 x^{2} y' + 8 x y$

Langkah 5.1.4.7

Kalikan $y$ dengan $y^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.4.7.1

Pindahkan $y^{2}$ .

$4 x^{3} + 4 x y^{2} + 4 y y' x^{2} + 2 (y^{2} y) y' \cdot 2 = 4 x^{2} y' + 8 x y$

Langkah 5.1.4.7.2

Kalikan $y^{2}$ dengan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.4.7.2.1

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$4 x^{3} + 4 x y^{2} + 4 y y' x^{2} + 2 (y^{2} y^{1}) y' \cdot 2 = 4 x^{2} y' + 8 x y$

Langkah 5.1.4.7.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$4 x^{3} + 4 x y^{2} + 4 y y' x^{2} + 2 y^{2 + 1} y' \cdot 2 = 4 x^{2} y' + 8 x y$

Langkah 5.1.4.7.3

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$4 x^{3} + 4 x y^{2} + 4 y y' x^{2} + 2 y^{3} y' \cdot 2 = 4 x^{2} y' + 8 x y$

Langkah 5.1.4.8

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$4 x^{3} + 4 x y^{2} + 4 y y' x^{2} + 4 y^{3} y' = 4 x^{2} y' + 8 x y$

Langkah 5.2

Kurangkan $4 x^{2} y'$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$4 x^{3} + 4 x y^{2} + 4 y y' x^{2} + 4 y^{3} y' - 4 x^{2} y' = 8 x y$

Langkah 5.3

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y'$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Kurangkan $4 x^{3}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$4 x y^{2} + 4 y y' x^{2} + 4 y^{3} y' - 4 x^{2} y' = 8 x y - 4 x^{3}$

Langkah 5.3.2

Kurangkan $4 x y^{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$4 y y' x^{2} + 4 y^{3} y' - 4 x^{2} y' = 8 x y - 4 x^{3} - 4 x y^{2}$

Langkah 5.4

Faktorkan $4 y'$ dari $4 y y' x^{2} + 4 y^{3} y' - 4 x^{2} y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Faktorkan $4 y'$ dari $4 y y' x^{2}$ .

$4 y' (y x^{2}) + 4 y^{3} y' - 4 x^{2} y' = 8 x y - 4 x^{3} - 4 x y^{2}$

Langkah 5.4.2

Faktorkan $4 y'$ dari $4 y^{3} y'$ .

$4 y' (y x^{2}) + 4 y' y^{3} - 4 x^{2} y' = 8 x y - 4 x^{3} - 4 x y^{2}$

Langkah 5.4.3

Faktorkan $4 y'$ dari $- 4 x^{2} y'$ .

$4 y' (y x^{2}) + 4 y' y^{3} + 4 y' (- x^{2}) = 8 x y - 4 x^{3} - 4 x y^{2}$

Langkah 5.4.4

Faktorkan $4 y'$ dari $4 y' (y x^{2}) + 4 y' y^{3}$ .

$4 y' (y x^{2} + y^{3}) + 4 y' (- x^{2}) = 8 x y - 4 x^{3} - 4 x y^{2}$

Langkah 5.4.5

Faktorkan $4 y'$ dari $4 y' (y x^{2} + y^{3}) + 4 y' (- x^{2})$ .

$4 y' (y x^{2} + y^{3} - x^{2}) = 8 x y - 4 x^{3} - 4 x y^{2}$

Langkah 5.5

Bagi setiap suku pada $4 y' (y x^{2} + y^{3} - x^{2}) = 8 x y - 4 x^{3} - 4 x y^{2}$ dengan $4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Bagilah setiap suku di $4 y' (y x^{2} + y^{3} - x^{2}) = 8 x y - 4 x^{3} - 4 x y^{2}$ dengan $4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})$ .

$\frac{4 y' (y x^{2} + y^{3} - x^{2})}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})} = \frac{8 x y}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})} + \frac{- 4 x^{3}}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})} + \frac{- 4 x y^{2}}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})}$

Langkah 5.5.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

Langkah 5.5.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y' (y x^{2} + y^{3} - x^{2})}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} = \frac{8 x y}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})} + \frac{- 4 x^{3}}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})} + \frac{- 4 x y^{2}}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})}$

Langkah 5.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y x^{2} + y^{3} - x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

Langkah 5.5.2.2.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{8 x y}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})} + \frac{- 4 x^{3}}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})} + \frac{- 4 x y^{2}}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})}$

Langkah 5.5.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.3.1

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.3.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.3.1.1.1

Hapus faktor persekutuan dari $8$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.3.1.1.1.1

Faktorkan $4$ dari $8 x y$ .

$y' = \frac{4 (2 x y)}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})} + \frac{- 4 x^{3}}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})} + \frac{- 4 x y^{2}}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})}$

Langkah 5.5.3.1.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.3.1.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \frac{4 (2 x y)}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})} + \frac{- 4 x^{3}}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})} + \frac{- 4 x y^{2}}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})}$

Langkah 5.5.3.1.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \frac{2 x y}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} + \frac{- 4 x^{3}}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})} + \frac{- 4 x y^{2}}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})}$

Langkah 5.5.3.1.1.2

Hapus faktor persekutuan dari $- 4$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.3.1.1.2.1

Faktorkan $4$ dari $- 4 x^{3}$ .

$y' = \frac{2 x y}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} + \frac{4 (- x^{3})}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})} + \frac{- 4 x y^{2}}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})}$

Langkah 5.5.3.1.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.3.1.1.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \frac{2 x y}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} + \frac{4 (- x^{3})}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})} + \frac{- 4 x y^{2}}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})}$

Langkah 5.5.3.1.1.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \frac{2 x y}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} + \frac{- x^{3}}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} + \frac{- 4 x y^{2}}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})}$

Langkah 5.5.3.1.1.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = \frac{2 x y}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} - \frac{x^{3}}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} + \frac{- 4 x y^{2}}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})}$

Langkah 5.5.3.1.1.4

Hapus faktor persekutuan dari $- 4$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.3.1.1.4.1

Faktorkan $4$ dari $- 4 x y^{2}$ .

$y' = \frac{2 x y}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} - \frac{x^{3}}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} + \frac{4 (- x y^{2})}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})}$

Langkah 5.5.3.1.1.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.3.1.1.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \frac{2 x y}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} - \frac{x^{3}}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} + \frac{4 (- x y^{2})}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})}$

Langkah 5.5.3.1.1.4.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \frac{2 x y}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} - \frac{x^{3}}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} + \frac{- x y^{2}}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}}$

Langkah 5.5.3.1.1.5

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = \frac{2 x y}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} - \frac{x^{3}}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} - \frac{x y^{2}}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}}$

Langkah 5.5.3.1.2

Gabungkan menjadi satu pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.3.1.2.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y' = \frac{2 x y - x^{3}}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} - \frac{x y^{2}}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}}$

Langkah 5.5.3.1.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y' = \frac{2 x y - x^{3} - x y^{2}}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}}$

Langkah 5.5.3.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.3.2.1

Faktorkan $x$ dari $2 x y - x^{3} - x y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.3.2.1.1

Faktorkan $x$ dari $2 x y$ .

$y' = \frac{x (2 y) - x^{3} - x y^{2}}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}}$

Langkah 5.5.3.2.1.2

Faktorkan $x$ dari $- x^{3}$ .

$y' = \frac{x (2 y) + x (- x^{2}) - x y^{2}}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}}$

Langkah 5.5.3.2.1.3

Faktorkan $x$ dari $- x y^{2}$ .

$y' = \frac{x (2 y) + x (- x^{2}) + x (- 1 y^{2})}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}}$

Langkah 5.5.3.2.1.4

Faktorkan $x$ dari $x (2 y) + x (- x^{2})$ .

$y' = \frac{x (2 y - x^{2}) + x (- 1 y^{2})}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}}$

Langkah 5.5.3.2.1.5

Faktorkan $x$ dari $x (2 y - x^{2}) + x (- 1 y^{2})$ .

$y' = \frac{x (2 y - x^{2} - 1 y^{2})}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}}$

Langkah 5.5.3.2.2

Tulis kembali $- 1 y^{2}$ sebagai $- y^{2}$ .

$y' = \frac{x (2 y - x^{2} - y^{2})}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (2 y - x^{2} - y^{2})}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}}$