Kalkulus Contoh

$\int_{1}^{6} x \sqrt{5 x^{2} + 4} d x$

Langkah 1

Biarkan $u = 5 x^{2} + 4$ . Kemudian $d u = 10 x d x$ sehingga $\frac{1}{10} d u = x d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u = 5 x^{2} + 4$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $5 x^{2} + 4$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{2} + 4]$

Langkah 1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $5 x^{2} + 4$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Langkah 1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$5 (2 x) + \frac{d}{d x} [4]$

Langkah 1.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $5$ .

$10 x + \frac{d}{d x} [4]$

Langkah 1.1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$10 x + 0$

Langkah 1.1.4.2

Tambahkan $10 x$ dan $0$ .

$10 x$

Langkah 1.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = 5 x^{2} + 4$ .

$u_{lower} = 5 \cdot 1^{2} + 4$

Langkah 1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$u_{lower} = 5 \cdot 1 + 4$

Langkah 1.3.1.2

Kalikan $5$ dengan $1$ .

$u_{lower} = 5 + 4$

Langkah 1.3.2

Tambahkan $5$ dan $4$ .

$u_{lower} = 9$

Langkah 1.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = 5 x^{2} + 4$ .

$u_{upper} = 5 \cdot 6^{2} + 4$

Langkah 1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1.1

Naikkan $6$ menjadi pangkat $2$ .

$u_{upper} = 5 \cdot 36 + 4$

Langkah 1.5.1.2

Kalikan $5$ dengan $36$ .

$u_{upper} = 180 + 4$

Langkah 1.5.2

Tambahkan $180$ dan $4$ .

$u_{upper} = 184$

Langkah 1.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 9$

$u_{upper} = 184$

Langkah 1.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$\int_{9}^{184} \sqrt{u} \frac{1}{10} d u$

Langkah 2

Gabungkan $\sqrt{u}$ dan $\frac{1}{10}$ .

$\int_{9}^{184} \frac{\sqrt{u}}{10} d u$

Langkah 3

Karena $\frac{1}{10}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{10}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{10} \int_{9}^{184} \sqrt{u} d u$

Langkah 4

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{u}$ sebagai $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{10} \int_{9}^{184} u^{\frac{1}{2}} d u$

Langkah 5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{\frac{1}{2}}$ terhadap $u$ adalah $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{10} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{9}^{184}$

Langkah 6

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Evaluasi $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ pada $184$ dan pada $9$ .

$\frac{1}{10} ((\frac{2}{3} \cdot 184^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}})$

Langkah 6.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Gabungkan $\frac{2}{3}$ dan $184^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{10} (\frac{2 \cdot 184^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}})$

Langkah 6.2.2

Tulis kembali $9$ sebagai $3^{2}$ .

$\frac{1}{10} (\frac{2 \cdot 184^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Langkah 6.2.3

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{10} (\frac{2 \cdot 184^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})})$

Langkah 6.2.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{10} (\frac{2 \cdot 184^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})})$

Langkah 6.2.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{10} (\frac{2 \cdot 184^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 3^{3})$

Langkah 6.2.5

Naikkan $3$ menjadi pangkat $3$ .

$\frac{1}{10} (\frac{2 \cdot 184^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 27)$

Langkah 6.2.6

Kalikan $27$ dengan $- 1$ .

$\frac{1}{10} (\frac{2 \cdot 184^{\frac{3}{2}}}{3} - 27 (\frac{2}{3}))$

Langkah 6.2.7

Gabungkan $- 27$ dan $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{10} (\frac{2 \cdot 184^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 27 \cdot 2}{3})$

Langkah 6.2.8

Kalikan $- 27$ dengan $2$ .

$\frac{1}{10} (\frac{2 \cdot 184^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 54}{3})$

Langkah 6.2.9

Hapus faktor persekutuan dari $- 54$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.9.1

Faktorkan $3$ dari $- 54$ .

$\frac{1}{10} (\frac{2 \cdot 184^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{3 \cdot - 18}{3})$

Langkah 6.2.9.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.9.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$\frac{1}{10} (\frac{2 \cdot 184^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{3 \cdot - 18}{3 (1)})$

Langkah 6.2.9.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{10} (\frac{2 \cdot 184^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{3 \cdot - 18}{3 \cdot 1})$

Langkah 6.2.9.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{10} (\frac{2 \cdot 184^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 18}{1})$

Langkah 6.2.9.2.4

Bagilah $- 18$ dengan $1$ .

$\frac{1}{10} (\frac{2 \cdot 184^{\frac{3}{2}}}{3} - 18)$

Langkah 7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1}{10} \cdot \frac{2 \cdot 184^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{1}{10} \cdot - 18$

Langkah 7.2

Gabungkan.

$\frac{1 (2 \cdot 184^{\frac{3}{2}})}{10 \cdot 3} + \frac{1}{10} \cdot - 18$

Langkah 7.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Faktorkan $2$ dari $10$ .

$\frac{1 (2 \cdot 184^{\frac{3}{2}})}{10 \cdot 3} + \frac{1}{2 (5)} \cdot - 18$

Langkah 7.3.2

Faktorkan $2$ dari $- 18$ .

$\frac{1 (2 \cdot 184^{\frac{3}{2}})}{10 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 5} \cdot (2 \cdot - 9)$

Langkah 7.3.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1 (2 \cdot 184^{\frac{3}{2}})}{10 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 5} \cdot (2 \cdot - 9)$

Langkah 7.3.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1 (2 \cdot 184^{\frac{3}{2}})}{10 \cdot 3} + \frac{1}{5} \cdot - 9$

Langkah 7.4

Gabungkan $\frac{1}{5}$ dan $- 9$ .

$\frac{1 (2 \cdot 184^{\frac{3}{2}})}{10 \cdot 3} + \frac{- 9}{5}$

Langkah 7.5

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.5.1

Faktorkan $2$ dari $1 (2 \cdot 184^{\frac{3}{2}})$ .

$\frac{2 (1 \cdot (184^{\frac{3}{2}}))}{10 \cdot 3} + \frac{- 9}{5}$

Langkah 7.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.5.2.1

Faktorkan $2$ dari $10 \cdot 3$ .

$\frac{2 (1 \cdot (184^{\frac{3}{2}}))}{2 (5 \cdot 3)} + \frac{- 9}{5}$

Langkah 7.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 (1 \cdot (184^{\frac{3}{2}}))}{2 (5 \cdot 3)} + \frac{- 9}{5}$

Langkah 7.5.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1 \cdot (184^{\frac{3}{2}})}{5 \cdot 3} + \frac{- 9}{5}$

Langkah 7.5.3

Kalikan $184^{\frac{3}{2}}$ dengan $1$ .

$\frac{184^{\frac{3}{2}}}{5 \cdot 3} + \frac{- 9}{5}$

Langkah 7.5.4

Kalikan $5$ dengan $3$ .

$\frac{184^{\frac{3}{2}}}{15} + \frac{- 9}{5}$

Langkah 7.5.5

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{184^{\frac{3}{2}}}{15} - \frac{9}{5}$

Langkah 8

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{184^{\frac{3}{2}}}{15} - \frac{9}{5}$

Bentuk Desimal:

$164.59316225 \dots$

Langkah 9