Kalkulus Contoh

$\int x^{2} e^{- 3 x} d x$

Langkah 1

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x^{2}$ dan $d v = e^{- 3 x}$ .

$x^{2} (- \frac{1}{3} e^{- 3 x}) - \int - \frac{1}{3} e^{- 3 x} (2 x) d x$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gabungkan $e^{- 3 x}$ dan $\frac{1}{3}$ .

$x^{2} (- \frac{e^{- 3 x}}{3}) - \int - \frac{1}{3} e^{- 3 x} (2 x) d x$

Langkah 2.2

Gabungkan $x^{2}$ dan $\frac{e^{- 3 x}}{3}$ .

$- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} - \int - \frac{1}{3} e^{- 3 x} (2 x) d x$

Langkah 3

Karena $- \frac{1}{3} \cdot 2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- \frac{1}{3} \cdot 2$ keluar dari integral.

$- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} - (- \frac{1}{3} \cdot 2 \int e^{- 3 x} (x) d x)$

Langkah 4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} - (- 2 (\frac{1}{3}) \int e^{- 3 x} (x) d x)$

Langkah 4.2

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} - (\frac{- 2}{3} \int e^{- 3 x} (x) d x)$

Langkah 4.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} - (- \frac{2}{3} \int e^{- 3 x} (x) d x)$

Langkah 4.4

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} + 1 (\frac{2}{3} \int e^{- 3 x} (x) d x)$

Langkah 4.5

Kalikan $\frac{2}{3}$ dengan $1$ .

$- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} + \frac{2}{3} \int e^{- 3 x} (x) d x$

Langkah 5

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x$ dan $d v = e^{- 3 x}$ .

$- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} + \frac{2}{3} (x (- \frac{1}{3} e^{- 3 x}) - \int - \frac{1}{3} e^{- 3 x} d x)$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Gabungkan $e^{- 3 x}$ dan $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} + \frac{2}{3} (x (- \frac{e^{- 3 x}}{3}) - \int - \frac{1}{3} e^{- 3 x} d x)$

Langkah 6.2

Gabungkan $x$ dan $\frac{e^{- 3 x}}{3}$ .

$- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \int - \frac{1}{3} e^{- 3 x} d x)$

Langkah 6.3

Gabungkan $e^{- 3 x}$ dan $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \int - \frac{e^{- 3 x}}{3} d x)$

Langkah 7

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - - \int \frac{e^{- 3 x}}{3} d x)$

Langkah 8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} + 1 \int \frac{e^{- 3 x}}{3} d x)$

Langkah 8.2

Kalikan $\int \frac{e^{- 3 x}}{3} d x$ dengan $1$ .

$- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} + \int \frac{e^{- 3 x}}{3} d x)$

Langkah 9

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{3}$ keluar dari integral.

$- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} + \frac{1}{3} \int e^{- 3 x} d x)$

Langkah 10

Biarkan $u = - 3 x$ . Kemudian $d u = - 3 d x$ sehingga $- \frac{1}{3} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Biarkan $u = - 3 x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.1

Diferensialkan $- 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x]$

Langkah 10.1.2

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 3 x$ terhadap $x$ adalah $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 10.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 3 \cdot 1$

Langkah 10.1.4

Kalikan $- 3$ dengan $1$ .

$- 3$

Langkah 10.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} + \frac{1}{3} \int e^{u} \frac{1}{- 3} d u)$

Langkah 11

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} + \frac{1}{3} \int e^{u} (- \frac{1}{3}) d u)$

Langkah 11.2

Gabungkan $e^{u}$ dan $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} + \frac{1}{3} \int - \frac{e^{u}}{3} d u)$

Langkah 12

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} + \frac{1}{3} (- \int \frac{e^{u}}{3} d u))$

Langkah 13

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{3}$ keluar dari integral.

$- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} + \frac{1}{3} (- (\frac{1}{3} \int e^{u} d u)))$

Langkah 14

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Kalikan $\frac{1}{3}$ dengan $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int e^{u} d u)$

Langkah 14.2

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{9} \int e^{u} d u)$

Langkah 15

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u} + C))$

Langkah 16

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1

Tulis kembali $- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u} + C))$ sebagai $- \frac{1}{3} x^{2} e^{- 3 x} + \frac{2}{3} (- \frac{1}{3} x e^{- 3 x} - \frac{1}{9} e^{u}) + C$ .

$- \frac{1}{3} x^{2} e^{- 3 x} + \frac{2}{3} (- \frac{1}{3} x e^{- 3 x} - \frac{1}{9} e^{u}) + C$

Langkah 16.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.2.1

Gabungkan $x^{2}$ dan $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{x^{2}}{3} e^{- 3 x} + \frac{2}{3} (- \frac{1}{3} x e^{- 3 x} - \frac{1}{9} e^{u}) + C$

Langkah 16.2.2

Gabungkan $e^{- 3 x}$ dan $\frac{x^{2}}{3}$ .

$- \frac{e^{- 3 x} x^{2}}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{1}{3} x e^{- 3 x} - \frac{1}{9} e^{u}) + C$

Langkah 16.2.3

Gabungkan $x$ dan $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{e^{- 3 x} x^{2}}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{x}{3} e^{- 3 x} - \frac{1}{9} e^{u}) + C$

Langkah 16.2.4

Gabungkan $e^{- 3 x}$ dan $\frac{x}{3}$ .

$- \frac{e^{- 3 x} x^{2}}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{e^{- 3 x} x}{3} - \frac{1}{9} e^{u}) + C$

Langkah 16.2.5

Gabungkan $e^{u}$ dan $\frac{1}{9}$ .

$- \frac{e^{- 3 x} x^{2}}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{e^{- 3 x} x}{3} - \frac{e^{u}}{9}) + C$

Langkah 16.2.6

Untuk menuliskan $\frac{2}{3} (- \frac{e^{- 3 x} x}{3} - \frac{e^{u}}{9})$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{e^{- 3 x} x^{2}}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{e^{- 3 x} x}{3} - \frac{e^{u}}{9}) \cdot \frac{3}{3} + C$

Langkah 16.2.7

Gabungkan $\frac{2}{3} (- \frac{e^{- 3 x} x}{3} - \frac{e^{u}}{9})$ dan $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{e^{- 3 x} x^{2}}{3} + \frac{\frac{2}{3} (- \frac{e^{- 3 x} x}{3} - \frac{e^{u}}{9}) \cdot 3}{3} + C$

Langkah 16.2.8

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{- e^{- 3 x} x^{2} + \frac{2}{3} (- \frac{e^{- 3 x} x}{3} - \frac{e^{u}}{9}) \cdot 3}{3} + C$

Langkah 16.2.9

Gabungkan $3$ dan $\frac{2}{3}$ .

$\frac{- e^{- 3 x} x^{2} + \frac{3 \cdot 2}{3} (- \frac{e^{- 3 x} x}{3} - \frac{e^{u}}{9})}{3} + C$

Langkah 16.2.10

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$\frac{- e^{- 3 x} x^{2} + \frac{6}{3} (- \frac{e^{- 3 x} x}{3} - \frac{e^{u}}{9})}{3} + C$

Langkah 16.2.11

Hapus faktor persekutuan dari $6$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.2.11.1

Faktorkan $3$ dari $6$ .

$\frac{- e^{- 3 x} x^{2} + \frac{3 \cdot 2}{3} (- \frac{e^{- 3 x} x}{3} - \frac{e^{u}}{9})}{3} + C$

Langkah 16.2.11.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.2.11.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$\frac{- e^{- 3 x} x^{2} + \frac{3 \cdot 2}{3 (1)} (- \frac{e^{- 3 x} x}{3} - \frac{e^{u}}{9})}{3} + C$

Langkah 16.2.11.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- e^{- 3 x} x^{2} + \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} (- \frac{e^{- 3 x} x}{3} - \frac{e^{u}}{9})}{3} + C$

Langkah 16.2.11.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- e^{- 3 x} x^{2} + \frac{2}{1} (- \frac{e^{- 3 x} x}{3} - \frac{e^{u}}{9})}{3} + C$

Langkah 16.2.11.2.4

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$\frac{- e^{- 3 x} x^{2} + 2 (- \frac{e^{- 3 x} x}{3} - \frac{e^{u}}{9})}{3} + C$

Langkah 17

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- 3 x$ .

$\frac{- e^{- 3 x} x^{2} + 2 (- \frac{e^{- 3 x} x}{3} - \frac{e^{- 3 x}}{9})}{3} + C$

Langkah 18

Susun kembali suku-suku.

$\frac{1}{3} (- e^{- 3 x} x^{2} + 2 (- \frac{1}{3} e^{- 3 x} x - \frac{1}{9} e^{- 3 x})) + C$