Kalkulus Contoh

$\int e^{3 x} \cos (2 x) d x$

Langkah 1

Susun kembali $e^{3 x}$ dan $\cos (2 x)$ .

$\int \cos (2 x) e^{3 x} d x$

Langkah 2

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = \cos (2 x)$ dan $d v = e^{3 x}$ .

$\cos (2 x) (\frac{1}{3} e^{3 x}) - \int \frac{1}{3} e^{3 x} (- 2 \sin (2 x)) d x$

Langkah 3

Karena $\frac{1}{3} \cdot - 2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{3} \cdot - 2$ keluar dari integral.

$\cos (2 x) (\frac{1}{3} e^{3 x}) - (\frac{1}{3} \cdot - 2 \int e^{3 x} (\sin (2 x)) d x)$

Langkah 4

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $e^{3 x}$ .

$\cos (2 x) \frac{e^{3 x}}{3} - (\frac{1}{3} \cdot - 2 \int e^{3 x} (\sin (2 x)) d x)$

Langkah 4.2

Gabungkan $\cos (2 x)$ dan $\frac{e^{3 x}}{3}$ .

$\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} - (\frac{1}{3} \cdot - 2 \int e^{3 x} (\sin (2 x)) d x)$

Langkah 4.3

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $- 2$ .

$\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} - (\frac{- 2}{3} \int e^{3 x} (\sin (2 x)) d x)$

Langkah 4.4

Susun kembali $e^{3 x}$ dan $\sin (2 x)$ .

$\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} - (\frac{- 2}{3} \int \sin (2 x) e^{3 x} d x)$

Langkah 5

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = \sin (2 x)$ dan $d v = e^{3 x}$ .

$\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} - (\frac{- 2}{3} (\sin (2 x) (\frac{1}{3} e^{3 x}) - \int \frac{1}{3} e^{3 x} (2 \cos (2 x)) d x))$

Langkah 6

Karena $\frac{1}{3} \cdot 2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{3} \cdot 2$ keluar dari integral.

$\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} - (\frac{- 2}{3} (\sin (2 x) (\frac{1}{3} e^{3 x}) - (\frac{1}{3} \cdot 2 \int e^{3 x} (\cos (2 x)) d x)))$

Langkah 7

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $e^{3 x}$ .

$\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} - (\frac{- 2}{3} (\sin (2 x) \frac{e^{3 x}}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 2 \int e^{3 x} (\cos (2 x)) d x)))$

Langkah 7.2

Gabungkan $\sin (2 x)$ dan $\frac{e^{3 x}}{3}$ .

$\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} - (\frac{- 2}{3} (\frac{\sin (2 x) e^{3 x}}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 2 \int e^{3 x} (\cos (2 x)) d x)))$

Langkah 7.3

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $2$ .

$\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} - (\frac{- 2}{3} (\frac{\sin (2 x) e^{3 x}}{3} - (\frac{2}{3} \int e^{3 x} (\cos (2 x)) d x)))$

Langkah 7.4

Terapkan sifat distributif.

$\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} - \frac{- 2}{3} \cdot \frac{\sin (2 x) e^{3 x}}{3} - \frac{- 2}{3} (- (\frac{2}{3} \int e^{3 x} (\cos (2 x)) d x))$

Langkah 7.5

Kalikan $\frac{\sin (2 x) e^{3 x}}{3}$ dengan $\frac{- 2}{3}$ .

$\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} - \frac{\sin (2 x) e^{3 x} \cdot - 2}{3 \cdot 3} - \frac{- 2}{3} (- (\frac{2}{3} \int e^{3 x} (\cos (2 x)) d x))$

Langkah 7.6

Kalikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.6.1

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} - \frac{\sin (2 x) e^{3 x} \cdot - 2}{9} - \frac{- 2}{3} (- (\frac{2}{3} \int e^{3 x} (\cos (2 x)) d x))$

Langkah 7.6.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} - \frac{\sin (2 x) e^{3 x} \cdot - 2}{9} + 1 (\frac{- 2}{3}) (\frac{2}{3} \int e^{3 x} (\cos (2 x)) d x)$

Langkah 7.6.3

Kalikan $\frac{- 2}{3}$ dengan $1$ .

$\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} - \frac{\sin (2 x) e^{3 x} \cdot - 2}{9} + \frac{- 2}{3} (\frac{2}{3} \int e^{3 x} (\cos (2 x)) d x)$

Langkah 7.7

Kalikan $\frac{2}{3}$ dengan $\frac{- 2}{3}$ .

$\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} - \frac{\sin (2 x) e^{3 x} \cdot - 2}{9} + \frac{2 \cdot - 2}{3 \cdot 3} \int e^{3 x} (\cos (2 x)) d x$

Langkah 7.8

Kalikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.8.1

Kalikan $2$ dengan $- 2$ .

$\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} - \frac{\sin (2 x) e^{3 x} \cdot - 2}{9} + \frac{- 4}{3 \cdot 3} \int e^{3 x} (\cos (2 x)) d x$

Langkah 7.8.2

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} - \frac{\sin (2 x) e^{3 x} \cdot - 2}{9} + \frac{- 4}{9} \int e^{3 x} (\cos (2 x)) d x$

Langkah 8

Ketika menyelesaikan $\int e^{3 x} \cos (2 x) d x$ , kami menemukan bahwa $\int e^{3 x} \cos (2 x) d x$ = $\frac{\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} - \frac{\sin (2 x) e^{3 x} \cdot - 2}{9}}{\frac{13}{9}}$ .

$\frac{\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} - \frac{\sin (2 x) e^{3 x} \cdot - 2}{9}}{\frac{13}{9}} + C$

Langkah 9

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Pindahkan $- 2$ ke sebelah kiri $\sin (2 x) e^{3 x}$ .

$\frac{\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} - \frac{- 2 \cdot (\sin (2 x) e^{3 x})}{9}}{\frac{13}{9}} + C$

Langkah 9.1.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} - - \frac{2 \sin (2 x) e^{3 x}}{9}}{\frac{13}{9}} + C$

Langkah 9.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} + 1 \frac{2 \sin (2 x) e^{3 x}}{9}}{\frac{13}{9}} + C$

Langkah 9.1.4

Kalikan $\frac{2 \sin (2 x) e^{3 x}}{9}$ dengan $1$ .

$\frac{\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} + \frac{2 \sin (2 x) e^{3 x}}{9}}{\frac{13}{9}} + C$

Langkah 9.1.5

Kalikan balikan dari pecahan tersebut untuk membagi dengan $\frac{13}{9}$ .

$(\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} + \frac{2 \sin (2 x) e^{3 x}}{9}) \frac{9}{13} + C$

Langkah 9.2

Tulis kembali $(\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} + \frac{2 \sin (2 x) e^{3 x}}{9}) \frac{9}{13} + C$ sebagai $(\frac{1}{3} \cos (2 x) e^{3 x} + \frac{2}{9} \sin (2 x) e^{3 x}) \frac{9}{13} + C$ .

$(\frac{1}{3} \cos (2 x) e^{3 x} + \frac{2}{9} \sin (2 x) e^{3 x}) \frac{9}{13} + C$