Kalkulus Contoh

$\int e^{- x} \cos (2 x) d x$

Langkah 1

Susun kembali $e^{- x}$ dan $\cos (2 x)$ .

$\int \cos (2 x) e^{- x} d x$

Langkah 2

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = \cos (2 x)$ dan $d v = e^{- x}$ .

$\cos (2 x) (- e^{- x}) - \int - e^{- x} (- 2 \sin (2 x)) d x$

Langkah 3

Karena $- - 2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- - 2$ keluar dari integral.

$\cos (2 x) (- e^{- x}) - (- - 2 \int e^{- x} (\sin (2 x)) d x)$

Langkah 4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 2$ .

$\cos (2 x) (- e^{- x}) - (2 \int e^{- x} (\sin (2 x)) d x)$

Langkah 4.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\cos (2 x) (- e^{- x}) - 2 \int e^{- x} (\sin (2 x)) d x$

Langkah 4.3

Susun kembali $e^{- x}$ dan $\sin (2 x)$ .

$\cos (2 x) (- e^{- x}) - 2 \int \sin (2 x) e^{- x} d x$

Langkah 5

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = \sin (2 x)$ dan $d v = e^{- x}$ .

$\cos (2 x) (- e^{- x}) - 2 (\sin (2 x) (- e^{- x}) - \int - e^{- x} (2 \cos (2 x)) d x)$

Langkah 6

Karena $- 1 \cdot 2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1 \cdot 2$ keluar dari integral.

$\cos (2 x) (- e^{- x}) - 2 (\sin (2 x) (- e^{- x}) - (- 1 \cdot 2 \int e^{- x} (\cos (2 x)) d x))$

Langkah 7

Sederhanakan dengan mengalikan semuanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\cos (2 x) (- e^{- x}) - 2 (\sin (2 x) (- e^{- x}) - (- 2 \int e^{- x} (\cos (2 x)) d x))$

Langkah 7.2

Kalikan $- 2$ dengan $- 1$ .

$\cos (2 x) (- e^{- x}) - 2 (\sin (2 x) (- e^{- x}) + 2 \int e^{- x} (\cos (2 x)) d x)$

Langkah 7.3

Terapkan sifat distributif.

$\cos (2 x) (- e^{- x}) - 2 (\sin (2 x) (- e^{- x})) - 2 (2 \int e^{- x} (\cos (2 x)) d x)$

Langkah 7.4

Kalikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 2$ .

$\cos (2 x) (- e^{- x}) + 2 (\sin (2 x) (e^{- x})) - 2 (2 \int e^{- x} (\cos (2 x)) d x)$

Langkah 7.4.2

Kalikan $2$ dengan $- 2$ .

$\cos (2 x) (- e^{- x}) + 2 (\sin (2 x) (e^{- x})) - 4 \int e^{- x} (\cos (2 x)) d x$

Langkah 8

Ketika menyelesaikan $\int e^{- x} \cos (2 x) d x$ , kami menemukan bahwa $\int e^{- x} \cos (2 x) d x$ = $\frac{\cos (2 x) (- e^{- x}) + 2 (\sin (2 x) (e^{- x}))}{5}$ .

$\frac{\cos (2 x) (- e^{- x}) + 2 (\sin (2 x) (e^{- x}))}{5} + C$

Langkah 9

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Tulis kembali $\frac{\cos (2 x) (- e^{- x}) + 2 \sin (2 x) e^{- x}}{5} + C$ sebagai $\frac{- \cos (2 x) e^{- x} + 2 \sin (2 x) e^{- x}}{5} + C$ .

$\frac{- \cos (2 x) e^{- x} + 2 \sin (2 x) e^{- x}}{5} + C$

Langkah 9.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Faktorkan $e^{- x}$ dari $- \cos (2 x) e^{- x} + 2 \sin (2 x) e^{- x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1.1

Faktorkan $e^{- x}$ dari $- \cos (2 x) e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x} (- \cos (2 x)) + 2 \sin (2 x) e^{- x}}{5} + C$

Langkah 9.2.1.2

Faktorkan $e^{- x}$ dari $2 \sin (2 x) e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x} (- \cos (2 x)) + e^{- x} (2 \sin (2 x))}{5} + C$

Langkah 9.2.1.3

Faktorkan $e^{- x}$ dari $e^{- x} (- \cos (2 x)) + e^{- x} (2 \sin (2 x))$ .

$\frac{e^{- x} (- \cos (2 x) + 2 \sin (2 x))}{5} + C$

Langkah 9.2.2

Faktorkan $- 1$ dari $- \cos (2 x)$ .

$\frac{e^{- x} (- (\cos (2 x)) + 2 \sin (2 x))}{5} + C$

Langkah 9.2.3

Faktorkan $- 1$ dari $2 \sin (2 x)$ .

$\frac{e^{- x} (- (\cos (2 x)) - (- 2 \sin (2 x)))}{5} + C$

Langkah 9.2.4

Faktorkan $- 1$ dari $- (\cos (2 x)) - (- 2 \sin (2 x))$ .

$\frac{e^{- x} (- (\cos (2 x) - 2 \sin (2 x)))}{5} + C$

Langkah 9.2.5

Tulis kembali $- (\cos (2 x) - 2 \sin (2 x))$ sebagai $- 1 (\cos (2 x) - 2 \sin (2 x))$ .

$\frac{e^{- x} (- 1 (\cos (2 x) - 2 \sin (2 x)))}{5} + C$

Langkah 9.2.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{1}{5} e^{- x} (\cos (2 x) - 2 \sin (2 x)) + C$