Kalkulus Contoh

$\int \sin^{2} (3 x) d x$

Langkah 1

Biarkan $u_{1} = 3 x$ . Kemudian $d u_{1} = 3 d x$ sehingga $\frac{1}{3} d u_{1} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u_{1} = 3 x$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Langkah 1.1.2

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Langkah 1.1.4

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$3$

Langkah 1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ dan $d u_{1}$ .

$\int \sin^{2} (u_{1}) \frac{1}{3} d u_{1}$

Langkah 2

Gabungkan $\sin^{2} (u_{1})$ dan $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{\sin^{2} (u_{1})}{3} d u_{1}$

Langkah 3

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $u_{1}$ , pindahkan $\frac{1}{3}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{3} \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Langkah 4

Gunakan rumus setengah sudut untuk menuliskan kembali $\sin^{2} (u_{1})$ sebagai $\frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$\frac{1}{3} \int \frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

Langkah 5

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{1}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{3} (\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 3} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Langkah 6.2

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$\frac{1}{6} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Langkah 7

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\frac{1}{6} (\int d u_{1} + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Langkah 8

Terapkan aturan konstanta.

$\frac{1}{6} (u_{1} + C + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Langkah 9

Karena $- 1$ konstan terhadap $u_{1}$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\frac{1}{6} (u_{1} + C - \int \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Langkah 10

Biarkan $u_{2} = 2 u_{1}$ . Kemudian $d u_{2} = 2 d u_{1}$ sehingga $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Biarkan $u_{2} = 2 u_{1}$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.1

Diferensialkan $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Langkah 10.1.2

Karena $2$ konstan terhadap $u_{1}$ , turunan dari $2 u_{1}$ terhadap $u_{1}$ adalah $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Langkah 10.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ adalah $n {u_{1}}^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Langkah 10.1.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2$

Langkah 10.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$\frac{1}{6} (u_{1} + C - \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Langkah 11

Gabungkan $\cos (u_{2})$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{6} (u_{1} + C - \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Langkah 12

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{6} (u_{1} + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2}))$

Langkah 13

Integral dari $\cos (u_{2})$ terhadap $u_{2}$ adalah $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{6} (u_{1} + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C))$

Langkah 14

Sederhanakan.

$\frac{1}{6} (u_{1} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Langkah 15

Substitusikan kembali untuk setiap variabel substitusi pengintegralan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $3 x$ .

$\frac{1}{6} (3 x - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Langkah 15.2

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $2 u_{1}$ .

$\frac{1}{6} (3 x - \frac{1}{2} \sin (2 u_{1})) + C$

Langkah 15.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $3 x$ .

$\frac{1}{6} (3 x - \frac{1}{2} \sin (2 (3 x))) + C$

Langkah 16

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1.1

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$\frac{1}{6} (3 x - \frac{1}{2} \sin (6 x)) + C$

Langkah 16.1.2

Gabungkan $\sin (6 x)$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{6} (3 x - \frac{\sin (6 x)}{2}) + C$

Langkah 16.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1}{6} (3 x) + \frac{1}{6} (- \frac{\sin (6 x)}{2}) + C$

Langkah 16.3

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.3.1

Faktorkan $3$ dari $6$ .

$\frac{1}{3 (2)} (3 x) + \frac{1}{6} (- \frac{\sin (6 x)}{2}) + C$

Langkah 16.3.2

Faktorkan $3$ dari $3 x$ .

$\frac{1}{3 (2)} (3 (x)) + \frac{1}{6} (- \frac{\sin (6 x)}{2}) + C$

Langkah 16.3.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{3 \cdot 2} (3 x) + \frac{1}{6} (- \frac{\sin (6 x)}{2}) + C$

Langkah 16.3.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{6} (- \frac{\sin (6 x)}{2}) + C$

Langkah 16.4

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x$ .

$\frac{x}{2} + \frac{1}{6} (- \frac{\sin (6 x)}{2}) + C$

Langkah 16.5

Kalikan $\frac{1}{6} (- \frac{\sin (6 x)}{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.5.1

Kalikan $\frac{1}{6}$ dengan $\frac{\sin (6 x)}{2}$ .

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (6 x)}{6 \cdot 2} + C$

Langkah 16.5.2

Kalikan $6$ dengan $2$ .

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (6 x)}{12} + C$

Langkah 17

Susun kembali suku-suku.

$\frac{1}{2} x - \frac{1}{12} \sin (6 x) + C$