Kalkulus Contoh

$\int \frac{1}{1 - \sin (x)} d x$

Langkah 1

Terapkan identitas sudut ganda sinus.

$\int \frac{1}{1 - (2 (\sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2})))} d x$

Langkah 2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\int \frac{1}{1 - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2})} d x$

Langkah 3

Mengalikan argumrn dari $\frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\sec^{2} (\frac{x}{2})}$

$\int \frac{1}{1 - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2})} \cdot \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Langkah 4

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Gabungkan.

$\int \frac{1 \sec^{2} (\frac{x}{2})}{(1 - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2})) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Langkah 4.2

Kalikan ${\sec (\frac{x}{2})}^{2}$ dengan $1$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{(1 - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2})) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Langkah 5

Sederhanakan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Terapkan sifat distributif.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{1 {\sec (\frac{x}{2})}^{2} - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2}) {\sec (\frac{x}{2})}^{2}} d x$

Langkah 5.2

Kalikan ${\sec (\frac{x}{2})}^{2}$ dengan $1$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\sec^{2} (\frac{x}{2}) - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Langkah 6

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tulis kembali $\sec (\frac{x}{2})$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{{(\frac{1}{\cos (\frac{x}{2})})}^{2} - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Langkah 6.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{\cos (\frac{x}{2})}$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Langkah 6.3

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Langkah 6.4

Tulis kembali $\sec (\frac{x}{2})$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2}) {(\frac{1}{\cos (\frac{x}{2})})}^{2}} d x$

Langkah 6.5

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{\cos (\frac{x}{2})}$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2}) \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{x}{2})}} d x$

Langkah 6.6

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2}) \frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})}} d x$

Langkah 6.7

Batalkan faktor persekutuan dari $\cos (\frac{x}{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.7.1

Faktorkan $\cos (\frac{x}{2})$ dari $- 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2})$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} + \cos (\frac{x}{2}) (- 2 \sin (\frac{x}{2})) \frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})}} d x$

Langkah 6.7.2

Faktorkan $\cos (\frac{x}{2})$ dari $\cos^{2} (\frac{x}{2})$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} + \cos (\frac{x}{2}) (- 2 \sin (\frac{x}{2})) \frac{1}{\cos (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2})}} d x$

Langkah 6.7.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} + \cos (\frac{x}{2}) (- 2 \sin (\frac{x}{2})) \frac{1}{\cos (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2})}} d x$

Langkah 6.7.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} - 2 \sin (\frac{x}{2}) \frac{1}{\cos (\frac{x}{2})}} d x$

Langkah 6.8

Gabungkan $\frac{1}{\cos (\frac{x}{2})}$ dan $- 2$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} + \frac{- 2}{\cos (\frac{x}{2})} \sin (\frac{x}{2})} d x$

Langkah 6.9

Gabungkan $\frac{- 2}{\cos (\frac{x}{2})}$ dan $\sin (\frac{x}{2})$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} + \frac{- 2 \sin (\frac{x}{2})}{\cos (\frac{x}{2})}} d x$

Langkah 6.10

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} - \frac{2 \sin (\frac{x}{2})}{\cos (\frac{x}{2})}} d x$

Langkah 7

Konversikan dari $\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})}$ ke $\sec^{2} (\frac{x}{2})$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\sec^{2} (\frac{x}{2}) - \frac{2 \sin (\frac{x}{2})}{\cos (\frac{x}{2})}} d x$

Langkah 8

Konversikan dari $\frac{2 \sin (\frac{x}{2})}{\cos (\frac{x}{2})}$ ke $2 \tan (\frac{x}{2})$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\sec^{2} (\frac{x}{2}) - (2 \tan (\frac{x}{2}))} d x$

Langkah 9

Ubahlah $\sec^{2} (x)$ menjadi $1 + \tan^{2} (x)$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{1 + \tan^{2} (\frac{x}{2}) - (2 \tan (\frac{x}{2}))} d x$

Langkah 10

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{1 + \tan^{2} (\frac{x}{2}) - 2 \tan (\frac{x}{2})} d x$

Langkah 11

Faktorkan menggunakan aturan kuadrat sempurna.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Susun kembali suku-suku.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{1 - 2 \tan (\frac{x}{2}) + \tan^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Langkah 11.2

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{1^{2} - 2 \tan (\frac{x}{2}) + \tan^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Langkah 11.3

Periksa apakah suku tengahnya merupakan dua kali hasil perkalian dari bilangan yang dikuadratkan di suku pertama dan suku ketiga.

$2 \tan (\frac{x}{2}) = 2 \cdot 1 \cdot \tan (\frac{x}{2})$

Langkah 11.4

Tulis kembali polinomialnya.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot \tan (\frac{x}{2}) + \tan^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Langkah 11.5

Faktorkan menggunakan aturan trinomial kuadrat sempurna $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , di mana $a = 1$ dan $b = \tan (\frac{x}{2})$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{{(1 - \tan (\frac{x}{2}))}^{2}} d x$

Langkah 12

Biarkan $u_{1} = \frac{x}{2}$ . Kemudian $d u_{1} = \frac{1}{2} d x$ sehingga $2 d u_{1} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Biarkan $u_{1} = \frac{x}{2}$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1

Diferensialkan $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Langkah 12.1.2

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{x}{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 12.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Langkah 12.1.4

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2}$

Langkah 12.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ dan $d u_{1}$ .

$\int \frac{\sec^{2} (u_{1})}{{(1 - \tan (u_{1}))}^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{1}$

Langkah 13

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Kalikan balikan dari pecahan tersebut untuk membagi dengan $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\sec^{2} (u_{1})}{{(1 - \tan (u_{1}))}^{2}} (1 \cdot 2) d u_{1}$

Langkah 13.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\int \frac{\sec^{2} (u_{1})}{{(1 - \tan (u_{1}))}^{2}} \cdot 2 d u_{1}$

Langkah 13.3

Gabungkan $\frac{\sec^{2} (u_{1})}{{(1 - \tan (u_{1}))}^{2}}$ dan $2$ .

$\int \frac{\sec^{2} (u_{1}) \cdot 2}{{(1 - \tan (u_{1}))}^{2}} d u_{1}$

Langkah 13.4

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $\sec^{2} (u_{1})$ .

$\int \frac{2 \sec^{2} (u_{1})}{{(1 - \tan (u_{1}))}^{2}} d u_{1}$

Langkah 14

Karena $2$ konstan terhadap $u_{1}$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$2 \int \frac{\sec^{2} (u_{1})}{{(1 - \tan (u_{1}))}^{2}} d u_{1}$

Langkah 15

Biarkan $u_{2} = 1 - \tan (u_{1})$ . Kemudian $d u_{2} = - \sec^{2} (u_{1}) d u_{1}$ sehingga $- \frac{1}{\sec^{2} (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Biarkan $u_{2} = 1 - \tan (u_{1})$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1.1

Diferensialkan $1 - \tan (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1 - \tan (u_{1})]$

Langkah 15.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 - \tan (u_{1})$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [- \tan (u_{1})]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [- \tan (u_{1})]$

Langkah 15.1.2.2

Karena $1$ konstan terhadap $u_{1}$ , turunan dari $1$ terhadap $u_{1}$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [- \tan (u_{1})]$

Langkah 15.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d u_{1}} [- \tan (u_{1})]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $u_{1}$ , turunan dari $- \tan (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $- \frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})]$ .

$0 - \frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})]$

Langkah 15.1.3.2

Turunan dari $\tan (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $\sec^{2} (u_{1})$ .

$0 - \sec^{2} (u_{1})$

Langkah 15.1.4

Kurangi $\sec^{2} (u_{1})$ dengan $0$ .

$- \sec^{2} (u_{1})$

Langkah 15.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$2 \int \frac{- 1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Langkah 16

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$2 \int - \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Langkah 17

Karena $- 1$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$2 (- \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2})$

Langkah 18

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$- 2 \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Langkah 18.2

Pindahkan ${u_{2}}^{2}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$- 2 \int {({u_{2}}^{2})}^{- 1} d u_{2}$

Langkah 18.3

Kalikan eksponen dalam ${({u_{2}}^{2})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \int {u_{2}}^{2 \cdot - 1} d u_{2}$

Langkah 18.3.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$- 2 \int {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

Langkah 19

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari ${u_{2}}^{- 2}$ terhadap $u_{2}$ adalah $- {u_{2}}^{- 1}$ .

$- 2 (- {u_{2}}^{- 1} + C)$

Langkah 20

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 20.1

Tulis kembali $- 2 (- {u_{2}}^{- 1} + C)$ sebagai $- 2 (- \frac{1}{u_{2}}) + C$ .

$- 2 (- \frac{1}{u_{2}}) + C$

Langkah 20.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 20.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 2$ .

$2 \frac{1}{u_{2}} + C$

Langkah 20.2.2

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{2}{u_{2}} + C$

Langkah 21

Substitusikan kembali untuk setiap variabel substitusi pengintegralan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 21.1

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $1 - \tan (u_{1})$ .

$\frac{2}{1 - \tan (u_{1})} + C$

Langkah 21.2

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $\frac{x}{2}$ .

$\frac{2}{1 - \tan (\frac{x}{2})} + C$

Langkah 22

Susun kembali suku-suku.

$\frac{2}{1 - \tan (\frac{1}{2} x)} + C$