Kalkulus Contoh

$y \sqrt{x + 1} = 4$

Langkah 1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x + 1}$ sebagai ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} = 4$

Langkah 2

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (y {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (4)$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = y$ dan $g (x) = {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}] + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ dan $g (x) = x + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x + 1$ .

$y (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$y (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x + 1$ .

$y (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 3.3

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$y (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 3.4

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$y (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 3.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 3.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$y (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 3.6.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$y (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 3.7

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 3.7.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$y (\frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 3.7.3

Pindahkan ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y (\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 3.7.4

Gabungkan $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ dan $y$ .

$\frac{y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 1] + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 3.8

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 3.9

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 3.10

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 3.11

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.11.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$\frac{y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 3.11.2

Kalikan $\frac{y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ dengan $1$ .

$\frac{y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 3.12

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$\frac{y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} y'$

Langkah 3.13

Susun kembali suku-suku.

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} y' + \frac{y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0$

Langkah 5

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} y' + \frac{y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Langkah 6

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Sederhanakan ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} y' + \frac{y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Untuk menuliskan ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} y'$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} y' \cdot \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Langkah 6.1.2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.2.1

Gabungkan ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} y'$ dan $\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} y' (2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Langkah 6.1.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} y' (2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}) + y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Langkah 6.1.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.3.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} y' {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Langkah 6.1.3.2

Kalikan ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ dengan ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.3.2.1

Pindahkan ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}) y' + y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Langkah 6.1.3.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} y' + y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Langkah 6.1.3.2.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} y' + y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Langkah 6.1.3.2.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{2}{2}} y' + y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Langkah 6.1.3.2.5

Bagilah $2$ dengan $2$ .

$\frac{2 {(x + 1)}^{1} y' + y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Langkah 6.1.3.3

Sederhanakan $2 {(x + 1)}^{1} y'$ .

$\frac{2 (x + 1) y' + y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Langkah 6.1.3.4

Terapkan sifat distributif.

$\frac{(2 x + 2 \cdot 1) y' + y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Langkah 6.1.3.5

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\frac{(2 x + 2) y' + y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Langkah 6.1.3.6

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2 x y' + 2 y' + y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Langkah 6.2

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$2 x y' + 2 y' + y = 0$

Langkah 6.3

Selesaikan persamaan untuk $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Kurangkan $y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 x y' + 2 y' = - y$

Langkah 6.3.2

Faktorkan $2 y'$ dari $2 x y' + 2 y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1

Faktorkan $2 y'$ dari $2 x y'$ .

$2 y' x + 2 y' = - y$

Langkah 6.3.2.2

Faktorkan $2 y'$ dari $2 y'$ .

$2 y' x + 2 y' \cdot 1 = - y$

Langkah 6.3.2.3

Faktorkan $2 y'$ dari $2 y' x + 2 y' \cdot 1$ .

$2 y' (x + 1) = - y$

Langkah 6.3.3

Bagi setiap suku pada $2 y' (x + 1) = - y$ dengan $2 (x + 1)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.3.1

Bagilah setiap suku di $2 y' (x + 1) = - y$ dengan $2 (x + 1)$ .

$\frac{2 y' (x + 1)}{2 (x + 1)} = \frac{- y}{2 (x + 1)}$

Langkah 6.3.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 y' (x + 1)}{2 (x + 1)} = \frac{- y}{2 (x + 1)}$

Langkah 6.3.3.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y' (x + 1)}{x + 1} = \frac{- y}{2 (x + 1)}$

Langkah 6.3.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (x + 1)}{x + 1} = \frac{- y}{2 (x + 1)}$

Langkah 6.3.3.2.2.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{- y}{2 (x + 1)}$

Langkah 6.3.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.3.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{y}{2 (x + 1)}$

Langkah 7

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{2 (x + 1)}$