Kalkulus Contoh

$\sin (x + y) = y^{2} \cos (x)$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (\sin (x + y)) = \frac{d}{d x} (y^{2} \cos (x))$

Langkah 2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = x + y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x + y$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x + y]$

Langkah 2.1.2

Turunan dari $\sin (u)$ terhadap $u$ adalah $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [x + y]$

Langkah 2.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x + y$ .

$\cos (x + y) \frac{d}{d x} [x + y]$

Langkah 2.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + y$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\cos (x + y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\cos (x + y) (1 + \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 2.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$\cos (x + y) (1 + y')$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = y^{2}$ dan $g (x) = \cos (x)$ .

$y^{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 3.2

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$y^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 3.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$y^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 3.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$y^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 3.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$y^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 3.4

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $\cos (x)$ .

$y^{2} (- \sin (x)) + 2 \cdot \cos (x) y \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 3.5

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$y^{2} (- \sin (x)) + 2 \cos (x) y y'$

Langkah 3.6

Susun kembali suku-suku.

$- y^{2} \sin (x) + 2 y \cos (x) y'$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$\cos (x + y) (1 + y') = - y^{2} \sin (x) + 2 y \cos (x) y'$

Langkah 5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Sederhanakan $\cos (x + y) (1 + y')$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1.1

Tulis kembali.

$0 + 0 + \cos (x + y) (1 + y') = - y^{2} \sin (x) + 2 y \cos (x) y'$

Langkah 5.1.1.2

Sederhanakan dengan menambahkan nol.

$\cos (x + y) (1 + y') = - y^{2} \sin (x) + 2 y \cos (x) y'$

Langkah 5.1.1.3

Terapkan sifat distributif.

$\cos (x + y) \cdot 1 + \cos (x + y) y' = - y^{2} \sin (x) + 2 y \cos (x) y'$

Langkah 5.1.1.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1.4.1

Kalikan $\cos (x + y)$ dengan $1$ .

$\cos (x + y) + \cos (x + y) y' = - y^{2} \sin (x) + 2 y \cos (x) y'$

Langkah 5.1.1.4.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $\cos (x + y) + \cos (x + y) y'$ .

$\cos (x + y) + y' \cos (x + y) = - y^{2} \sin (x) + 2 y \cos (x) y'$

Langkah 5.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Susun kembali faktor-faktor dalam $- y^{2} \sin (x) + 2 y \cos (x) y'$ .

$\cos (x + y) + y' \cos (x + y) = - y^{2} \sin (x) + 2 y y' \cos (x)$

Langkah 5.3

Kurangkan $2 y y' \cos (x)$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\cos (x + y) + y' \cos (x + y) - 2 y y' \cos (x) = - y^{2} \sin (x)$

Langkah 5.4

Kurangkan $\cos (x + y)$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y' \cos (x + y) - 2 y y' \cos (x) = - y^{2} \sin (x) - \cos (x + y)$

Langkah 5.5

Faktorkan $y'$ dari $y' \cos (x + y) - 2 y y' \cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Faktorkan $y'$ dari $y' \cos (x + y)$ .

$y' (\cos (x + y)) - 2 y y' \cos (x) = - y^{2} \sin (x) - \cos (x + y)$

Langkah 5.5.2

Faktorkan $y'$ dari $- 2 y y' \cos (x)$ .

$y' (\cos (x + y)) + y' (- 2 y \cos (x)) = - y^{2} \sin (x) - \cos (x + y)$

Langkah 5.5.3

Faktorkan $y'$ dari $y' (\cos (x + y)) + y' (- 2 y \cos (x))$ .

$y' (\cos (x + y) - 2 y \cos (x)) = - y^{2} \sin (x) - \cos (x + y)$

Langkah 5.6

Bagi setiap suku pada $y' (\cos (x + y) - 2 y \cos (x)) = - y^{2} \sin (x) - \cos (x + y)$ dengan $\cos (x + y) - 2 y \cos (x)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1

Bagilah setiap suku di $y' (\cos (x + y) - 2 y \cos (x)) = - y^{2} \sin (x) - \cos (x + y)$ dengan $\cos (x + y) - 2 y \cos (x)$ .

$\frac{y' (\cos (x + y) - 2 y \cos (x))}{\cos (x + y) - 2 y \cos (x)} = \frac{- y^{2} \sin (x)}{\cos (x + y) - 2 y \cos (x)} + \frac{- \cos (x + y)}{\cos (x + y) - 2 y \cos (x)}$

Langkah 5.6.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $\cos (x + y) - 2 y \cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (\cos (x + y) - 2 y \cos (x))}{\cos (x + y) - 2 y \cos (x)} = \frac{- y^{2} \sin (x)}{\cos (x + y) - 2 y \cos (x)} + \frac{- \cos (x + y)}{\cos (x + y) - 2 y \cos (x)}$

Langkah 5.6.2.1.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{- y^{2} \sin (x)}{\cos (x + y) - 2 y \cos (x)} + \frac{- \cos (x + y)}{\cos (x + y) - 2 y \cos (x)}$

Langkah 5.6.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.3.1.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{y^{2} \sin (x)}{\cos (x + y) - 2 y \cos (x)} + \frac{- \cos (x + y)}{\cos (x + y) - 2 y \cos (x)}$

Langkah 5.6.3.1.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{y^{2} \sin (x)}{\cos (x + y) - 2 y \cos (x)} - \frac{\cos (x + y)}{\cos (x + y) - 2 y \cos (x)}$

Langkah 5.6.3.2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.3.2.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y' = \frac{- y^{2} \sin (x) - \cos (x + y)}{\cos (x + y) - 2 y \cos (x)}$

Langkah 5.6.3.2.2

Faktorkan $- 1$ dari $- y^{2} \sin (x)$ .

$y' = \frac{- (y^{2} \sin (x)) - \cos (x + y)}{\cos (x + y) - 2 y \cos (x)}$

Langkah 5.6.3.2.3

Faktorkan $- 1$ dari $- \cos (x + y)$ .

$y' = \frac{- (y^{2} \sin (x)) - (\cos (x + y))}{\cos (x + y) - 2 y \cos (x)}$

Langkah 5.6.3.2.4

Faktorkan $- 1$ dari $- (y^{2} \sin (x)) - (\cos (x + y))$ .

$y' = \frac{- (y^{2} \sin (x) + \cos (x + y))}{\cos (x + y) - 2 y \cos (x)}$

Langkah 5.6.3.2.5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.3.2.5.1

Tulis kembali $- (y^{2} \sin (x) + \cos (x + y))$ sebagai $- 1 (y^{2} \sin (x) + \cos (x + y))$ .

$y' = \frac{- 1 (y^{2} \sin (x) + \cos (x + y))}{\cos (x + y) - 2 y \cos (x)}$

Langkah 5.6.3.2.5.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{y^{2} \sin (x) + \cos (x + y)}{\cos (x + y) - 2 y \cos (x)}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2} \sin (x) + \cos (x + y)}{\cos (x + y) - 2 y \cos (x)}$