Kalkulus Contoh

$x y^{2} - x^{3} y = 6$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (x y^{2} - x^{3} y) = \frac{d}{d x} (6)$

Langkah 2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x y^{2} - x^{3} y$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3} y]$ .

$\frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3} y]$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = y^{2}$ .

$x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{3} y]$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{3} y]$

Langkah 2.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{3} y]$

Langkah 2.2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{3} y]$

Langkah 2.2.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$x (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{3} y]$

Langkah 2.2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$x (2 y y') + y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{3} y]$

Langkah 2.2.5

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x$ .

$2 \cdot x y y' + y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{3} y]$

Langkah 2.2.6

Kalikan $y^{2}$ dengan $1$ .

$2 x y y' + y^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{3} y]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- x^{3} y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x^{3} y$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x^{3} y]$ .

$2 x y y' + y^{2} - \frac{d}{d x} [x^{3} y]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x^{3}$ dan $g (x) = y$ .

$2 x y y' + y^{2} - (x^{3} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Langkah 2.3.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$2 x y y' + y^{2} - (x^{3} y' + y \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Langkah 2.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$2 x y y' + y^{2} - (x^{3} y' + y (3 x^{2}))$

Langkah 2.3.5

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $y$ .

$2 x y y' + y^{2} - (x^{3} y' + 3 y x^{2})$

Langkah 2.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Terapkan sifat distributif.

$2 x y y' + y^{2} - (x^{3} y') - (3 y x^{2})$

Langkah 2.4.2

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$2 x y y' + y^{2} - x^{3} y' - 3 y x^{2}$

Langkah 2.4.3

Susun kembali suku-suku.

$y^{2} + 2 x y y' - x^{3} y' - 3 x^{2} y$

Langkah 3

Karena $6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $6$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$y^{2} + 2 x y y' - x^{3} y' - 3 x^{2} y = 0$

Langkah 5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y'$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Kurangkan $y^{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 x y y' - x^{3} y' - 3 x^{2} y = - y^{2}$

Langkah 5.1.2

Tambahkan $3 x^{2} y$ ke kedua sisi persamaan.

$2 x y y' - x^{3} y' = - y^{2} + 3 x^{2} y$

Langkah 5.2

Faktorkan $x y'$ dari $2 x y y' - x^{3} y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Faktorkan $x y'$ dari $2 x y y'$ .

$x y' (2 y) - x^{3} y' = - y^{2} + 3 x^{2} y$

Langkah 5.2.2

Faktorkan $x y'$ dari $- x^{3} y'$ .

$x y' (2 y) + x y' (- x^{2}) = - y^{2} + 3 x^{2} y$

Langkah 5.2.3

Faktorkan $x y'$ dari $x y' (2 y) + x y' (- x^{2})$ .

$x y' (2 y - x^{2}) = - y^{2} + 3 x^{2} y$

Langkah 5.3

Bagi setiap suku pada $x y' (2 y - x^{2}) = - y^{2} + 3 x^{2} y$ dengan $x (2 y - x^{2})$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Bagilah setiap suku di $x y' (2 y - x^{2}) = - y^{2} + 3 x^{2} y$ dengan $x (2 y - x^{2})$ .

$\frac{x y' (2 y - x^{2})}{x (2 y - x^{2})} = \frac{- y^{2}}{x (2 y - x^{2})} + \frac{3 x^{2} y}{x (2 y - x^{2})}$

Langkah 5.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x y' (2 y - x^{2})}{x (2 y - x^{2})} = \frac{- y^{2}}{x (2 y - x^{2})} + \frac{3 x^{2} y}{x (2 y - x^{2})}$

Langkah 5.3.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y' (2 y - x^{2})}{2 y - x^{2}} = \frac{- y^{2}}{x (2 y - x^{2})} + \frac{3 x^{2} y}{x (2 y - x^{2})}$

Langkah 5.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2 y - x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (2 y - x^{2})}{2 y - x^{2}} = \frac{- y^{2}}{x (2 y - x^{2})} + \frac{3 x^{2} y}{x (2 y - x^{2})}$

Langkah 5.3.2.2.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{- y^{2}}{x (2 y - x^{2})} + \frac{3 x^{2} y}{x (2 y - x^{2})}$

Langkah 5.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{y^{2}}{x (2 y - x^{2})} + \frac{3 x^{2} y}{x (2 y - x^{2})}$

Langkah 5.3.3.1.2

Hapus faktor persekutuan dari $x^{2}$ dan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.2.1

Faktorkan $x$ dari $3 x^{2} y$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{x (2 y - x^{2})} + \frac{x (3 x y)}{x (2 y - x^{2})}$

Langkah 5.3.3.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = - \frac{y^{2}}{x (2 y - x^{2})} + \frac{x (3 x y)}{x (2 y - x^{2})}$

Langkah 5.3.3.1.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = - \frac{y^{2}}{x (2 y - x^{2})} + \frac{3 x y}{2 y - x^{2}}$

Langkah 5.3.3.2

Untuk menuliskan $\frac{3 x y}{2 y - x^{2}}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{x (2 y - x^{2})} + \frac{3 x y}{2 y - x^{2}} \cdot \frac{x}{x}$

Langkah 5.3.3.3

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $x (2 y - x^{2})$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.3.1

Kalikan $\frac{3 x y}{2 y - x^{2}}$ dengan $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{x (2 y - x^{2})} + \frac{3 x y x}{(2 y - x^{2}) x}$

Langkah 5.3.3.3.2

Susun kembali faktor-faktor dari $(2 y - x^{2}) x$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{x (2 y - x^{2})} + \frac{3 x y x}{x (2 y - x^{2})}$

Langkah 5.3.3.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y' = \frac{- y^{2} + 3 x y x}{x (2 y - x^{2})}$

Langkah 5.3.3.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.5.1

Faktorkan $y$ dari $- y^{2} + 3 x y x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.5.1.1

Faktorkan $y$ dari $- y^{2}$ .

$y' = \frac{y (- y) + 3 x y x}{x (2 y - x^{2})}$

Langkah 5.3.3.5.1.2

Faktorkan $y$ dari $3 x y x$ .

$y' = \frac{y (- y) + y (3 x \cdot x)}{x (2 y - x^{2})}$

Langkah 5.3.3.5.1.3

Faktorkan $y$ dari $y (- y) + y (3 x \cdot x)$ .

$y' = \frac{y (- y + 3 x \cdot x)}{x (2 y - x^{2})}$

Langkah 5.3.3.5.2

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.5.2.1

Pindahkan $x$ .

$y' = \frac{y (- y + 3 (x \cdot x))}{x (2 y - x^{2})}$

Langkah 5.3.3.5.2.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$y' = \frac{y (- y + 3 x^{2})}{x (2 y - x^{2})}$

Langkah 5.3.3.6

Sederhanakan dengan memfaktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.6.1

Faktorkan $- 1$ dari $- y$ .

$y' = \frac{y (- (y) + 3 x^{2})}{x (2 y - x^{2})}$

Langkah 5.3.3.6.2

Faktorkan $- 1$ dari $3 x^{2}$ .

$y' = \frac{y (- (y) - (- 3 x^{2}))}{x (2 y - x^{2})}$

Langkah 5.3.3.6.3

Faktorkan $- 1$ dari $- (y) - (- 3 x^{2})$ .

$y' = \frac{y (- (y - 3 x^{2}))}{x (2 y - x^{2})}$

Langkah 5.3.3.6.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.6.4.1

Tulis kembali $- (y - 3 x^{2})$ sebagai $- 1 (y - 3 x^{2})$ .

$y' = \frac{y (- 1 (y - 3 x^{2}))}{x (2 y - x^{2})}$

Langkah 5.3.3.6.4.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{y (y - 3 x^{2})}{x (2 y - x^{2})}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y (y - 3 x^{2})}{x (2 y - x^{2})}$