Kalkulus Contoh

$y = \frac{1}{2} x^{2}$ , $y = - x^{2} + 6$

Langkah 1

Selesaikan dengan substitusi untuk mencari perpotongan antara kurva-kurvanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Eliminasi sisi yang sama dari setiap persamaan dan gabungkan.

$\frac{1}{2} x^{2} = - x^{2} + 6$

Langkah 1.2

Selesaikan $\frac{1}{2} x^{2} = - x^{2} + 6$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Sederhanakan $\frac{1}{2} x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.1

Tulis kembali.

$0 + 0 + \frac{1}{2} x^{2} = - x^{2} + 6$

Langkah 1.2.1.2

Sederhanakan dengan menambahkan nol.

$\frac{1}{2} x^{2} = - x^{2} + 6$

Langkah 1.2.1.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2} = - x^{2} + 6$

Langkah 1.2.2

Pindahkan semua suku yang mengandung $x$ ke sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Tambahkan $x^{2}$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{x^{2}}{2} + x^{2} = 6$

Langkah 1.2.2.2

Untuk menuliskan $x^{2}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2} + x^{2} \cdot \frac{2}{2} = 6$

Langkah 1.2.2.3

Gabungkan $x^{2}$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{2} \cdot 2}{2} = 6$

Langkah 1.2.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{x^{2} + x^{2} \cdot 2}{2} = 6$

Langkah 1.2.2.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.5.1

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 2 \cdot x^{2}}{2} = 6$

Langkah 1.2.2.5.2

Tambahkan $x^{2}$ dan $2 x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{2} = 6$

Langkah 1.2.3

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x^{2}}{2} = \frac{2}{3} \cdot 6$

Langkah 1.2.4

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1.1

Sederhanakan $\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x^{2}}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1.1.1

Gabungkan.

$\frac{2 (3 x^{2})}{3 \cdot 2} = \frac{2}{3} \cdot 6$

Langkah 1.2.4.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 (3 x^{2})}{3 \cdot 2} = \frac{2}{3} \cdot 6$

Langkah 1.2.4.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{2}{3} \cdot 6$

Langkah 1.2.4.1.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1.1.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{2}{3} \cdot 6$

Langkah 1.2.4.1.1.3.2

Bagilah $x^{2}$ dengan $1$ .

$x^{2} = \frac{2}{3} \cdot 6$

Langkah 1.2.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.2.1

Sederhanakan $\frac{2}{3} \cdot 6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.2.1.1.1

Faktorkan $3$ dari $6$ .

$x^{2} = \frac{2}{3} \cdot (3 (2))$

Langkah 1.2.4.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$x^{2} = \frac{2}{3} \cdot (3 \cdot 2)$

Langkah 1.2.4.2.1.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$x^{2} = 2 \cdot 2$

Langkah 1.2.4.2.1.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$x^{2} = 4$

Langkah 1.2.5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Langkah 1.2.6

Sederhanakan $\pm \sqrt{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.1

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Langkah 1.2.6.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$x = \pm 2$

Langkah 1.2.7

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.7.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = 2$

Langkah 1.2.7.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - 2$

Langkah 1.2.7.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = 2, - 2$

Langkah 1.3

Evaluasi $y$ ketika $x = 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Substitusikan $2$ untuk $x$ .

$y = - {(2)}^{2} + 6$

Langkah 1.3.2

Substitusikan $2$ ke $x$ dalam $y = - {(2)}^{2} + 6$ dan selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Hilangkan tanda kurung.

$y = - 2^{2} + 6$

Langkah 1.3.2.2

Sederhanakan $- 2^{2} + 6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.2.1.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$y = - 1 \cdot 4 + 6$

Langkah 1.3.2.2.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$y = - 4 + 6$

Langkah 1.3.2.2.2

Tambahkan $- 4$ dan $6$ .

$y = 2$

Langkah 1.4

Penyelesaian dari sistem adalah himpunan lengkap dari pasangan terurut yang merupakan penyelesaian valid.

$(2, 2)$

$(- 2, 2)$

$(2, 2)$

$(- 2, 2)$

Langkah 2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{2}$

Langkah 3

Luas daerah di antara kurva didefinisikan sebagai integral dari kurva atas dikurangi integral kurva bawah di sepanjang setiap daerah. Daerahnya ditentukan oleh perpotongan titik pada kurva. Daerah ini dapat ditentukan menggunakan aljabar atau grafik.

$A r e a = \int_{- 2}^{2} - x^{2} + 6 d x - \int_{- 2}^{2} \frac{x^{2}}{2} d x$

Langkah 4

Integralkan untuk menghitung luas antara $- 2$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Gabungkan integral-integral tersebut menjadi integral tunggal.

$\int_{- 2}^{2} - x^{2} + 6 - (\frac{x^{2}}{2}) d x$

Langkah 4.2

Untuk menuliskan $- x^{2}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\int_{- 2}^{2} - x^{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x^{2}}{2} + 6 d x$

Langkah 4.3

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Gabungkan $- x^{2}$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- x^{2} \cdot 2}{2} - \frac{x^{2}}{2} + 6$

Langkah 4.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{- x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2} + 6$

$\int_{- 2}^{2} \frac{- x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2} + 6 d x$

Langkah 4.4

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.1.1

Faktorkan $x^{2}$ dari $- x^{2} \cdot 2 - x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.1.1.1

Faktorkan $x^{2}$ dari $- x^{2} \cdot 2$ .

$\frac{x^{2} (- 1 \cdot 2) - x^{2}}{2} + 6$

Langkah 4.4.1.1.2

Faktorkan $x^{2}$ dari $- x^{2}$ .

$\frac{x^{2} (- 1 \cdot 2) + x^{2} \cdot - 1}{2} + 6$

Langkah 4.4.1.1.3

Faktorkan $x^{2}$ dari $x^{2} (- 1 \cdot 2) + x^{2} \cdot - 1$ .

$\frac{x^{2} (- 1 \cdot 2 - 1)}{2} + 6$

Langkah 4.4.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{x^{2} (- 2 - 1)}{2} + 6$

Langkah 4.4.1.3

Kurangi $1$ dengan $- 2$ .

$\frac{x^{2} \cdot - 3}{2} + 6$

Langkah 4.4.2

Pindahkan $- 3$ ke sebelah kiri $x^{2}$ .

$\frac{- 3 \cdot x^{2}}{2} + 6$

Langkah 4.4.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{3 x^{2}}{2} + 6$

$\int_{- 2}^{2} - \frac{3 x^{2}}{2} + 6 d x$

Langkah 4.5

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int_{- 2}^{2} - \frac{3 x^{2}}{2} d x + \int_{- 2}^{2} 6 d x$

Langkah 4.6

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \int_{- 2}^{2} \frac{3 x^{2}}{2} d x + \int_{- 2}^{2} 6 d x$

Langkah 4.7

Karena $\frac{3}{2}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{3}{2}$ keluar dari integral.

$- (\frac{3}{2} \int_{- 2}^{2} x^{2} d x) + \int_{- 2}^{2} 6 d x$

Langkah 4.8

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- \frac{3}{2} \frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{2} + \int_{- 2}^{2} 6 d x$

Langkah 4.9

Terapkan aturan konstanta.

$- \frac{3}{2} \frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{2} + 6 x]_{- 2}^{2}$

Langkah 4.10

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.10.1

Evaluasi $\frac{1}{3} x^{3}$ pada $2$ dan pada $- 2$ .

$- \frac{3}{2} ((\frac{1}{3} \cdot 2^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3}) + 6 x]_{- 2}^{2}$

Langkah 4.10.2

Evaluasi $6 x$ pada $2$ dan pada $- 2$ .

$- \frac{3}{2} (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3}) + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

Langkah 4.10.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.10.3.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $3$ .

$- \frac{3}{2} (\frac{1}{3} \cdot 8 - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3}) + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

Langkah 4.10.3.2

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $8$ .

$- \frac{3}{2} (\frac{8}{3} - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3}) + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

Langkah 4.10.3.3

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $3$ .

$- \frac{3}{2} (\frac{8}{3} - \frac{1}{3} \cdot - 8) + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

Langkah 4.10.3.4

Kalikan $- 8$ dengan $- 1$ .

$- \frac{3}{2} (\frac{8}{3} + 8 (\frac{1}{3})) + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

Langkah 4.10.3.5

Gabungkan $8$ dan $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{3}{2} (\frac{8}{3} + \frac{8}{3}) + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

Langkah 4.10.3.6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{8 + 8}{3} + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

Langkah 4.10.3.7

Tambahkan $8$ dan $8$ .

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{16}{3} + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

Langkah 4.10.3.8

Kalikan $\frac{16}{3}$ dengan $\frac{3}{2}$ .

$- \frac{16 \cdot 3}{3 \cdot 2} + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

Langkah 4.10.3.9

Kalikan $16$ dengan $3$ .

$- \frac{48}{3 \cdot 2} + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

Langkah 4.10.3.10

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$- \frac{48}{6} + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

Langkah 4.10.3.11

Hapus faktor persekutuan dari $48$ dan $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.10.3.11.1

Faktorkan $6$ dari $48$ .

$- \frac{6 \cdot 8}{6} + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

Langkah 4.10.3.11.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.10.3.11.2.1

Faktorkan $6$ dari $6$ .

$- \frac{6 \cdot 8}{6 (1)} + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

Langkah 4.10.3.11.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{6 \cdot 8}{6 \cdot 1} + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

Langkah 4.10.3.11.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{8}{1} + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

Langkah 4.10.3.11.2.4

Bagilah $8$ dengan $1$ .

$- 1 \cdot 8 + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

Langkah 4.10.3.12

Kalikan $- 1$ dengan $8$ .

$- 8 + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

Langkah 4.10.3.13

Kalikan $6$ dengan $2$ .

$- 8 + 12 - 6 \cdot - 2$

Langkah 4.10.3.14

Kalikan $- 6$ dengan $- 2$ .

$- 8 + 12 + 12$

Langkah 4.10.3.15

Tambahkan $12$ dan $12$ .

$- 8 + 24$

Langkah 4.10.3.16

Tambahkan $- 8$ dan $24$ .

$16$

Langkah 5